Algebra

Początki algebry

Algebra to jeden z najstarszych działów matematyki, który powstał w starożytności, równolegle z arytmetyką i geometrią. Główna idea algebry polega na operowaniu wielkościami niewiadomymi, które oblicza się za pomocą równań. Metody algebry stosowano już w starożytnym Egipcie, jak to widać w tekstach Ahmesa (ok. XVII w. p.n.e.), oraz w babilońskich tekstach klinowych.

Rozwój algebry w starożytności

Rozwój algebry miał ogromny wpływ na kształtowanie się pojęcia liczby. Na przykład, wyznaczenie niewiadomej z równania $x + 10$ wymaga znajomości liczb ujemnych, z równania $x^2 - 2 = 0$ – liczb niewymiernych, a z równania $x^2 + x + 1 = 0$ – liczb zespolonych. W starożytnej Grecji algebra nie była uznawana za naukę o najwyższej randze, ponieważ jej metody miały praktyczny charakter. Znacznie bardziej ceniono geometrię, której metody wykorzystywano również do rozwiązywania problemów algebraicznych. Ślady tego podejścia przetrwały do dziś w takich terminach jak "kwadrat liczby" czy "sześcian liczby", które łączą pojęcia algebraiczne z odpowiednikami geometrycznymi.

Okres arabski w historii algebry

Jedynym znanym traktatem algebraicznym z okresu greckiego jest dzieło Diofantosa (ok. III w. n.e.), który posługiwał się równaniami pierwszego i drugiego stopnia. W IX wieku rozpoczął się "okres arabski" w historii algebry, zapoczątkowany przez uzbeckiego matematyka Alchwarizmiego, autora dzieła Al gabr w’almukabalah (dosłownie: przenoszenie członu z jednej strony równania na drugą), którego tytuł dał początek nazwie "algebra". W tym okresie (IX-XV w.) centrum naukowe algebry znajdowało się w Azji Środkowej, a uczonym językiem był arabski. Jedną z głównych przeszkód w rozwoju algebry był brak odpowiedniej symboliki, co utrudniało zapis prowadzonych rozumowań.

Wprowadzenie symboli algebraicznych

W XIII wieku Leonardo z Pizy (Fibonacci) wprowadził symbole dodawania i odejmowania, używając znaków "$\overline{p}$" i "$\overline{m}$" zamiast słów "plus" i "minus". Obecnie stosowane znaki "$+$" i "$-$" pojawiły się dopiero pod koniec XV wieku. Wprowadzenie symboli literowych, nie tylko do oznaczania wielkości niewiadomych, wprowadził François Viète w 1591 roku. Inne symbole, takie jak wykładnik potęgi, znak pierwiastka i nawias, pojawiły się w XVI i XVII wieku.

Wpływ symboliki na rozwój algebry

Wprowadzenie oznaczeń literowych oraz uproszczonego zapisu działań miało kluczowe znaczenie dla dalszego rozwoju matematyki, stwarzając sprzyjające warunki dla powstania nowych dziedzin, takich jak analiza matematyczna i geometria analityczna. Oznaczanie wielkości niewiadomych ostatnimi literami alfabetu (np. $x$, $y$, $z$) stało się zwyczajem od XVII wieku, dzięki Kartezjuszowi (Descartes), twórcy geometrii analitycznej. Kartezjusz wprowadził algebraiczne odpowiedniki pojęć geometrycznych, takich jak punkty i linie, używając współrzędnych i równań.

Rozwój algebry w czasach nowożytnych

Algebra została następnie rozwinięta przez Leonharda Eulera, który opracował podręcznik algebry (1768-1769). Dalszy rozwój algebry zawdzięczamy pracom uczonych takich jak d'Alembert, Gauss, Hamilton, Sturm i innych, którzy badali równania algebraiczne oraz ugruntowali teorię liczb zespolonych w XIX wieku. Odkrycia Nielsa Abela, który wykazał, że równań algebraicznych stopnia piątego i wyższych nie można rozwiązać algebraicznie, oraz Évariste Galois, który podał warunki rozwiązywalności równań, zmieniły kierunek rozwoju algebry. Teoria równań algebraicznych utraciła dominujące znaczenie, ustępując miejsca nowym teoriom, takim jak teoria grup, pierścieni i ciał, oraz teoria przestrzeni liniowych.