matematyka.wiki

matematyka jest prosta

Szukaj

Menu

Algebra

Algebra to jeden z najstarszych działów matematyki. Algebra powstała w starożytności obok arytmetyki i geometrii. Metodę algebry charakteryzowało posługiwanie się w rachunku wielkościami niewiadomymi, które oblicza się następnie z układanych w tym celu równań. Z postępowaniem takim spotykamy się już u Ahmesa (ok. XVII w. p.n.e.), a także w babilońskich tekstach klinowych. Rozwój algebry miał duży wpływ na ukształto­wanie się pojęcia liczby, tak np. wyznaczenie niewiadomej z równania $x+10$ wymaga znajomości liczb ujemnych, z równania $x^2-2=0$ - liczb niewymiernych, z równania $x^2+x+1=0$ - liczb zespolonych. W starożytnej Grecji algebra nie była uważana za dyscyplinę godną rangi nauki ze względu na swój praktyczny charakter. Powszechny był za to wówczas kult geometrii, której metody stosowano także przy rozwiązywaniu zagadnień algebraicznych. Ślady tego przetrwały do dziś, gdy mówimy np. "kwadrat liczby", "sześcian liczby", kojarząc w ten sposób z pojęciem algebraicznym jego odpowiednik geometryczny. Z okresu greckiego znamy jedynie traktat Diofantosa (ok. IIIw. n.e.), który posługiwał się równaniami pierwszego i drugiego stopnia. W IX w. rozpoczął się w historii algebry tzw. "okres arabski", zapoczątkowany przez matematyka i astronoma uzbeckiego Alchwarizmiego, autora dzieła Al gabr w’almukabalah (co oznacza dosłownie: przenoszenie członu z jednej strony równania na drugą), którego tytuł dał początek nazwie "algebra". W okresie tym (IX-XVw.) centrum naukowe algebry znajdowało się w Azji Środkowej, językiem zaś uczonych był język arabski. Jedną z głównych przeszkód na drodze szybkiego rozwoju algebry w tym okresie był brak właściwej symboliki, który bardzo utrudniał zapis prowadzonych rozumowań (musiano je zapisywać słowami). W XIIIw. Leonardo z Pizy (Fibonacci) wprowadził symbole dodawania i odejmowania, pisząc zamiast słów "plus" i "minus" znaki $\overline{p}$ i $\overline{m}$; znaki "$+$" i "$-$" i używane obecnie, pojawiły się dopiero pod koniec XVw. Symbole literowe (nie tylko dla oznaczenia wielkości niewiadomej) wprowadził F. Viete (1591r). Takie symbole, jak wykładnik potęgi, znak pierwiastka i nawias, pojawiają się w XVI i XVIIw. Wprowadzenie oznaczeń literowych oraz prostego zapisu działań miało zasadnicze znaczenie dla dalszego rozwoju całej matematyki i stworzyło sprzyjające warunki dla powstania nowych dyscyplin matematycznych: analizy matematycznej i geometrii analitycznej, których rozwój wiązał się ściśle z rozwojem algebrą. Zwyczaj oznaczania wielkości niewiadomych ostatnimi literami alfabetu łacińskiego pochodzi z XVIIw. od Kartezjusza (Descartes), twórcy geometrii analitycznej, który odwracając koncepcje starożytnych Greków wprowadził algebraiczne odpowiedniki (współrzędne, równania) pojęć geometrycznych (punktów, linii). Algebra została następnie opracowana i rozbudowana przez Eulera w jego podręczniku algebra (1768-1769). Dalszy swój rozwój zawdzięcza algebra pracom d'Alemberta, Gaussa, Hamiltona, Sturma i innych, którzy badali równania algebraiczne oraz ugruntowali teorię liczb zespolonych (XIXw.). Od czasu gdy Abel wykazał, że równań algebraicznych stopni piątego i wyższych nie można rozwiązać algebraicznie, zaś Galois podał warunek rozwiązalności dowolnych równań, teoria równań algebraicznych utraciła w algebrze swoje dominujące znaczenie. Zaczęły się wówczas rozwijać nowe teorie, jak np. teoria grup, pierścieni i ciał, teoria przestrzeni liniowych i in. (przestrzeń funkcyjna). 

  1. Pojęcia podstawowe algebry
    1. Wartość liczbowa wyrażenia algebraicznego
    2. Jednomiany
      1. Jednomiany podobne
    3. Wielomiany
      1. Dodawanie wielomianów
      2. Mnożenie wielomianów
  2. Podział wyrażeń algebraicznych
  3. Wyrażenia całkowite wymierne
    1. Rozkładanie wielomianu na czynniki
    2. Wzory skróconego mnożenia i dzielenia
    3. Największy wspólny dzielnik dwóch wielomianów

Cytat na dziś

Jakie to szczęście być matematykiem w naszych czasach!
D.Hilbert