Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Postać trygonometryczna liczby zespolonej zapisuje się następująco:
$$z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)$$
gdzie:
$|z|$ - jest długością promienia wodzącego - nazywa się modułem albo wartością bezwzględną liczby zespolonej,
$\varphi$ - jest kątem między osią biegunową, a promieniem wodzącym, wyrażonym w mierze łukowej - nazywa się argumentem liczby zespolonej, przyjmuje wartości $\varphi\in(-\pi;\pi\rangle$.
Postać trygonometryczną liczby zespolonej otrzymujemy, jeśli zamiast współrzędnych kartezjańskich punktu przedstawiającego liczbę zespoloną (postać algebraiczna $z=a+bi$) wprowadzimy współrzędne biegunowe.
Związek pomiędzy modułem $|z|$, argumentem $\varphi$ i $a$, $b$ jest taki sam jak między współrzędnymi biegunowymi i współrzędnymi kartezjańskimi punktu na płaszczyźnie, mianowicie w przypadku gdy $|z|\neq 0$, mamy związki:
$$a=|z|\cos{\varphi}\text{,}\qquad b=|z|\sin{\varphi}$$
$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}\text{,}\qquad \cos{\varphi}=\frac{a}{|z|}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\text{,}\qquad \sin{\varphi}=\frac{b}{|z|}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
Liczba $z=0$ na moduł $|z|=0$, a argument jest nieokreślony.
Każda liczba zespolona różna od zera ma nieskończenie wiele argumentów różniących się się o wielokrotność liczby $2\pi$. Wartością główną argumentu liczby zespolonej nazywamy jej argument zawarty w przedziale $-\pi<\varphi\leqslant\pi$.