Liczby całkowite

Zbiór liczb całkowitych to rozszerzenie zbioru liczb naturalnych. Zawiera on liczby naturalne, ich przeciwności oraz liczbę zero.

Definicja liczb całkowitych

Liczby całkowite można zapisać jako:

...−11,−10,−9,−8,−7,−6,−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11...

Zbiór liczb całkowitych oznacza się symbolem Z. Możemy go zapisać jako:

Z={...−11,−10,−9,−8,−7,−6,−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11...}

Podzbiory liczb całkowitych

W zbiorze liczb całkowitych możemy wyróżnić następujące podzbiory:

  1. Zbiór liczb całkowitych dodatnich:

    Z+={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11...}

  2. Zbiór liczb całkowitych ujemnych:

    Z−={...−11,−10,−9,−8,−7,−6,−5,−4,−3,−2,−1}

Warto zauważyć, że zbiór liczb całkowitych dodatnich Z+ jest tożsamy ze zbiorem liczb naturalnych bez zera.

Właściwości liczb całkowitych

  • Symetria: Dla każdej liczby całkowitej istnieje jej liczba przeciwna.
  • Zamknięcie: Suma, różnica i iloczyn dwóch liczb całkowitych zawsze dają w wyniku liczbę całkowitą.
  • Porządek: Liczby całkowite można uporządkować od najmniejszej do największej.
  • Gęstość: Między dwiema różnymi liczbami całkowitymi zawsze znajduje się skończona liczba innych liczb całkowitych.

Znaczenie liczb całkowitych

Liczby całkowite mają szerokie zastosowanie w matematyce i życiu codziennym:

  1. Reprezentacja wartości ujemnych: Umożliwiają wyrażanie wielkości poniżej zera, np. temperatury, długu.
  2. Operacje algebraiczne: Stanowią podstawę dla bardziej zaawansowanych działań algebraicznych.
  3. Teoria liczb: Są fundamentem dla wielu twierdzeń i koncepcji w teorii liczb.
  4. Programowanie: W wielu językach programowania liczby całkowite są podstawowym typem danych.

Zrozumienie liczb całkowitych jest kluczowe dla dalszego zgłębiania matematyki, w tym liczb wymiernych i niewymiernych, a także dla zrozumienia bardziej zaawansowanych koncepcji, takich jak funkcje czy równania.

Podsumowanie

Liczby całkowite stanowią fundamentalny zbiór w matematyce, rozszerzając koncepcję liczb naturalnych o wartości ujemne i zero. Ich właściwości i zastosowania czynią je niezbędnymi w wielu dziedzinach matematyki i nauki, a także w codziennym życiu.