matematyka.wiki

matematyka jest prosta

Szukaj

Menu

Liczby

Liczba (liczby) to podstawowe pojęcie matematyki, powstało w świadomości człowieka na wiele tysięcy lat przed naszą erą. Kształtowało się następnie i rozwijało wraz z rozwojem całej cywilizacji i kultury. Z chwilą gdy rozróżnienie między "jeden" i "wiele" - które były charakterystyczne dla ludów pierwotnych - przestało wystarczać, wprowadzone zostały liczby $1$, $2$, $3$, $4$, ..., a więc liczby naturalne (tzn. liczby całkowite i liczby dodatnie). Zaznaczanie liczb naturalnych odbywało się przez nacinanie kości zwierzęcych, kijów, patyków a także innych przedmiotów życia codziennego. Wraz z rozwojem piśmiennictwa powstał zapis liczb w odpowiednich systemach liczbowych przy pomocy umownych znaków oraz cyfr. Spostrzeżenie, że proces tworzenia coraz to większych liczb naturalnych jest nieskończony, zostało zawarte już jest w dziełach Euklidesa i Archimedesa, który to opracował nawet metodę zapisywania i nazywania liczb większych niż "liczba ziaren piasku na świecie". Ustalenie zasad dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia liczb naturalnych oraz poznanie własności tych działań zapoczątkowało rozwój arytmetyki. Pierwszym rozszerzeniem pojęcia liczb było wprowadzenie ułamków (np. $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{7}{13}$, itp.), dzięki którym wykonalne stało się dzielenie liczb naturalnych. Następnie w na przełomie wie,ów VI-XI wprowadzono w Indiach liczby ujemne oraz pojęcie zera, które to umożliwiły odejmowanie liczb naturalnych bez żadnych istniejących dotychczas ograniczeń. Geometryczną interpretację liczb ujemnych, jako wektorów na osi liczbowej, skierowanych przeciwnie do kierunku osi, podał Descartes, dzięki któremu głównie liczby ujemne rozpowszechniły się po całej Europie. Liczby naturalne, odpowiadające im liczby ujemne: $-1$, $-2$, $-3$, $-4$, $-5$, ..., oraz zero ($0$) nazywane są łącznie liczbami całkowitymi. Zbiór liczby całkowitych oraz zbiór ułamków (dodatnich oraz ujemnych) jest zbiorem liczb wymiernych. Zbiór liczb wymiernych posiada własność gęstość, tzn. dla dwóch różnych liczb wymiernych $a$ i $b$ istnieje zawsze liczba wymierna $c$ taka, że $a\lt c\lt b$, czyli pomiędzy dwoma liczbami można zawsze znaleźć trzecią - większą od $a$ i mniejszą od $b$.  Zbiór liczb wymiernych niestety nie wystarczał jako podstawa dla rozwijającej się szybko w XIXw. analizy matematycznej. Dalszym rozszerzeniem pojęcia liczb było ścisłe opracowanie teorii liczb niewymiernych (Dedekind, Cantor, Weierstrass). Liczby wymierne oraz liczby niewymierne nazywamy łącznie liczbami rzeczywistymi. Między zbiorem liczb rzeczywistych a zbiorem punktów linii prostej można ustalić odpowiedniość wzajemnie jednoznaczną, tzn. taką, że każdej liczbie rzeczywistej odpowiada dokładnie jeden punkt prostej i na odwrót. Znacznym dalszym rozszerzeniem pojęcia liczb było wprowadzenie liczb zespolonych, których szczególnym przypadkiem są liczby rzeczywiste.

Klasyfikacja liczb.

  1. Rodzaje liczb
    1. Liczby naturalne
    2. Liczby całkowite
    3. Liczby wymierne
    4. Liczby niewymierne
    5. Liczby rzeczywiste
    6. Liczby parzyste
    7. Liczby nieparzyste
    8. Liczby przeciwne
    9. Liczby odwrotne
    10. Liczby pierwsze
    11. Liczby złożone
    12. Liczby doskonałe
    13. Liczby przestępne
    14. Liczby Eulera
    15. Liczba pi $\pi$
    16. Liczba Nepera
    17. Liczba kardynalna
    18. Liczby Fermata
    19. Liczby rzymskie
  2. Działania arytmetyczne
    1. Dodawanie liczb
      1. Dodawanie pisemne liczb
    2. Odejmowanie liczb
      1. Odejmowanie pisemne liczb
    3. Mnożenie liczb
      1. Mnożenie pisemne liczb
      2. Tabliczka mnożenia
      3. Wzory skróconego mnożenia
      4. Rozkładanie liczby na czynniki pierwsze
    4. Dzielenie liczb
    5. Potęgowanie liczb
      1. Działania na potęgach
    6. Pierwiastkowanie liczb
    7. Kolejność wykonywania działań
  3. Najmniejsza wspólna wielokrotność
  4. Logarytmy
    1. Własności logarytmów

Cytat na dziś

Nie ma ani jednej dziedziny matematyki, jakkolwiek abstrakcyjna by była, która nie mogła być kiedyś zastosowana do zjawisk rzeczywistego świata.
N.Łobaczewski