Potęgowanie - kompendium

Potęgowanie to podstawowa operacja matematyczna, która polega na wielokrotnym mnożeniu liczby przez siebie samą.

Definicja potęgowania

W wyrażeniu $a^n$:
$a$ to podstawa potęgi,
$n$ to wykładnik potęgi.

$a^2=a\cdot a$ - czytamy: a do potęgi drugiej lub a do kwadratu,
$a^3=a\cdot a\cdot a$ - czytamy: a do potęgi trzeciej lub a do sześcianu,
$a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a}_{n\text{ czynników} a}$ - czytamy a do potęgi n-tej.

Szczególne przypadki potęgowania

  1. $a=a^1$ - każda liczba jest równa sobie podniesionej do pierwszej potęgi
  2. $1^n=1$ - potęga jedynki zawsze daje jeden
  3. $0^n=0$ (dla $n \neq 0$) - potęga zera (z wyjątkiem zerowej) zawsze daje zero
  4. $a^0=1$ (dla $a \neq 0$) - każda liczba (oprócz zera) podniesiona do potęgi zerowej daje jeden
  5. $0^0$ - jest nieoznaczone

Potęgowanie liczb ujemnych

Przy potęgowaniu liczb ujemnych, znak wyniku zależy od parzystości wykładnika:

  • $(-a)^n=a^n$ dla $n$ parzystego,
  • $(-a)^n=-(a^n)$ dla $n$ nieparzystego.

Przykłady:
$(-2)^2=(-2)\cdot (-2)=4$
$(-2)^3=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=-8$
$(-2)^4=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=16$
$(-2)^5=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=-32$

Potęgi o wykładnikach ujemnych

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ dla $a \neq 0$

Przykłady:
$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$
$(-3)^{-3}=\frac{1}{(-3)^3}=\frac{1}{(-3)(-3)(-3)}=\frac{1}{-27}=-\frac{1}{27}$
$y^{-1}=\frac{1}{y}$
$10^{-2}=\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100}=0,01$

Potęgi dziesiątki

Potęgi dziesiątki są szczególnie ważne w notacji naukowej i inżynierskiej:

$10^0=1$
$10^1=10$
$10^2=100$
$10^3=1.000 \text{ (tysiąc)}$
$10^6=1.000.000 \text{ (milion)}$
$10^9=1.000.000.000 \text{ (miliard)}$
$10^{12}=1.000.000.000.000 \text{ (bilion)}$

$10^{-1}=0,1$
$10^{-2}=0,01$
$10^{-3}=0,001 \text{ (jedna tysięczna)}$
$10^{-6}=0,000.001 \text{ (jedna milionowa)}$
$10^{-9}=0,000.000.001 \text{ (jedna miliardowa)}$
$10^{-12}=0,000.000.000.001 \text{ (jedna bilionowa)}$

Potęgi liczby dwa

Potęgi liczby dwa są szczególnie ważne w informatyce:

$2^0=1$
$2^1=2$
$2^2=4$
$2^3=8$
$2^4=16$
$2^5=32$
$2^6=64$
$2^7=128$
$2^8=256$
$2^{10}=1.024$

Działania na potęgach

Mnożenie potęg o jednakowych podstawach

$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$

Przykłady:
$5^3\cdot 5^6=5^{3+6}=5^9$
$10^2\cdot 10^5=10^{2+5}=10^7$
$2^{-12}\cdot 2^6=2^{-12+6}=2^{-6}$

Dzielenie potęg o jednakowych podstawach

$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$

Przykłady:
$\frac{5^3}{5^6}=5^{3-6}=5^{-3}$
$\frac{10^2}{10^5}=10^{2-5}=10^{-3}$
$\frac{2^{-12}}{2^6}=2^{-12-6}=2^{-18}$

Zastosowania potęgowania

  1. Fizyka: W obliczeniach związanych z energią, pracą, mocą.
  2. Chemia: W obliczeniach stężeń roztworów.
  3. Biologia: W modelowaniu wzrostu populacji.
  4. Informatyka: W analizie złożoności algorytmów, w systemach liczbowych.
  5. Ekonomia: W obliczeniach związanych z procentem składanym.

Powiązane tematy

Podsumowanie

Potęgowanie jest fundamentalną operacją matematyczną, która znajduje szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach nauki i techniki. Zrozumienie zasad potęgowania i umiejętność sprawnego operowania potęgami jest kluczowa dla dalszego rozwoju matematycznego i naukowego. Od prostych obliczeń po zaawansowane modele matematyczne, potęgowanie pozostaje nieodzownym narzędziem w arsenale każdego matematyka, naukowca i inżyniera.