matematyka.wiki

matematyka jest prosta

Szukaj

Menu

Kombinatoryczne obliczanie prawdopodobieństw

W wielu przypadkach można obliczać prawdopodobieństwa zdarzeń losowych za pomocą kombinatoryki. Przypuśćmy, że w wyniku rozważanego doświadczenia losowego może zajść jeden z $n$ wzajemnie wyłączających się i jednakowo prawdopodobnych przypadków. Jeżeli w $m$ spośród tych $n$ przypadków realizuje się zdarzenie $A$, to prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ wynosi:
$$P(A)=\frac{m}{n}$$
W języku potocznym wyrażamy to mówiąc, że prawdopodobieństwo jest równe stosunkowi ilości przypadków sprzyjających zdarzeniu $A$ do ilości wszystkich przypadków możliwych.

Przykład:
Jako przykład obliczymy prawdopodobieństwo uzyskania wygranych w totolotka. Możemy, jak to często wygodnie, posłużyć się tzw. interpretacją urnową:
Urna zawiera 6 kul białych i 43 kule czarne. Wybieramy losowo 6 kul. Jakie jest prawdopodobieństwo $p_k$, że wśród wybranych 6 kul jest dokładnie $k$ kul białych?
Ilość możliwych wyborów 6 kul spośród 49 wynosi $\begin{pmatrix}49 \\ 6\end{pmatrix}$. Tylko jeden wybór (wszystkie 6 kul białych) daje nam najwyższą wygraną, stąd $p_6=\frac{1}{\begin{pmatrix}49 \\ 6\end{pmatrix}}$.
Aby uzyskać dokładnie 5 kul białych, należy wybrać 5 kul białych spośród 6 możliwych (co można osiągnąć na $\begin{pmatrix}6 \\ 5\end{pmatrix}$ sposobów) oraz jedną czarną spośród 43 (co można zrobić na $\begin{pmatrix}43 \\ 1\end{pmatrix} = 43$ sposoby). Zatem ilość możliwych sposobów wybierania 5 kul białych i 1 czarnej wynosi $\begin{pmatrix}6 \\ 5\end{pmatrix}*43=6*43=258$, stąd $p_5=\frac{258}{\begin{pmatrix}49 \\ 6\end{pmatrix}}$.
Podobnie $p_4=\frac{\begin{pmatrix}6 \\ 4\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}43 \\ 2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}49 \\ 6\end{pmatrix}}$.

Cytat na dziś

Matematyka tylko wtedy będzie mogła rozwijać się równomiernie we wszystkich kierunkach, gdy żadna z dziedzin badawczych nie zostanie zarzucona.
F.Klein