Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW)

Wspólna wielokrotność

Przed zdefiniowaniem pojęcia najmniejszej wspólnej wielokrotności należy określić czym jest wspólna wielokrotność.

Wspólna wielokrotność dwóch liczb naturalnych $a$ i $b$, to każda inna liczba naturalna $c$, która dzieli się bez reszty przez obie liczby $a$ i $b$.

Przykład wspólnej wielokrotności

Znajdźmy wspólną wielokrotność liczby $3$ i $7$.

  • Wielokrotności liczby 3: $3, 6, 9, 12, 15, 18, \textcolor{red}{21}, 24, 27, 30, 33, 36, 39, \textcolor{red}{42}, 45, 48, 51, 54, 57, 60, \textcolor{red}{63}, ...$
  • Wielokrotności liczby 7: $7, 14, \textcolor{red}{21}, 28, 35, \textcolor{red}{42}, 49, 56, \textcolor{red}{63}, ...$

Wspólne wielokrotności liczby $3$ i $7$ to liczby zaznaczone na czerwono: $21, 42, 63, ...$ Istnieje nieskończenie wiele liczb, które są wspólną wielokrotnością liczb $3$ i $7$.

Definicja najmniejszej wspólnej wielokrotności

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb naturalnych $a$ i $b$, to najmniejsza liczba naturalna różna od zera, która jest jednocześnie wielokrotnością liczb $a$ i $b$.

Przykład NWW

Znajdźmy najmniejszą wspólną wielokrotność liczb $3$ i $7$.

Wspólne wielokrotności tych liczb to $21, 42, 63, ...$ Najmniejszą z nich jest liczba $21$, która jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb $3$ i $7$.

Zapisujemy: $\text{NWW}(3,7)=21$

Metody obliczania NWW

1. Metoda rozkładu na czynniki pierwsze

  1. Rozłóż obie liczby na czynniki pierwsze.
  2. Wybierz wszystkie czynniki pierwszej liczby.
  3. Dołącz brakujące czynniki z drugiej liczby.
  4. Pomnóż wszystkie wybrane czynniki.

Przykład dla NWW(12,18):

  • 12 = 2² × 3
  • 18 = 2 × 3²
  • NWW(12,18) = 2² × 3² = 36

2. Metoda z wykorzystaniem największego wspólnego dzielnika (NWD)

Wykorzystujemy wzór: $\text{NWW}(a,b) = \frac{|a \cdot b|}{\text{NWD}(a,b)}$

Przykład dla NWW(12,18):

  • NWD(12,18) = 6
  • NWW(12,18) = (12 × 18) ÷ 6 = 36

Właściwości NWW

  1. NWW(a,b) = NWW(b,a)
  2. NWW(a,a) = a
  3. Dla liczb względnie pierwszych: NWW(a,b) = a × b
  4. NWW(a,b) × NWD(a,b) = a × b

Zastosowania NWW

  • Ułamki: Przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków o różnych mianownikach.
  • Planowanie: W problemach związanych z cyklicznością zdarzeń.
  • Kryptografia: W niektórych algorytmach szyfrowania.
  • Programowanie: W optymalizacji algorytmów i strukturach danych.

NWW dla więcej niż dwóch liczb

NWW można obliczać również dla więcej niż dwóch liczb. Możemy to zrobić stosując metodę "parami" lub rozszerzając metody przedstawione powyżej.

Przykład: NWW(4,6,10) = NWW(NWW(4,6),10) = NWW(12,10) = 60

Podsumowanie

Najmniejsza wspólna wielokrotność jest fundamentalnym pojęciem w teorii liczb, mającym szerokie zastosowania praktyczne. Zrozumienie NWW i umiejętność jego obliczania są kluczowe w wielu dziedzinach matematyki, od podstawowych operacji na ułamkach po zaawansowane zagadnienia w algebrze i teorii liczb. Znajomość różnych metod obliczania NWW pozwala na efektywne rozwiązywanie problemów matematycznych i praktycznych.