Tangens i cotangens - wzory podstawowe

Tangens i cotangens to dwie funkcje trygonometryczne, które pełnią istotną rolę w matematyce, szczególnie w trygonometrii. Są one blisko powiązane z sinusami i cosinusami, dlatego ich wartości mogą być wyrażone w odniesieniu do tych funkcji. Wzory tangensa i cotangensa pomagają uprościć wiele obliczeń i są niezbędne w rozwiązywaniu równań trygonometrycznych oraz w analizie matematycznej.

Definicje tangensa i cotangensa

Tangens kąta $\alpha$ w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwległej przyprostokątnej do przyległej przyprostokątnej. Matematycznie wyraża się go jako:

$$ \tan \alpha = \frac{\text{przeciwległa}}{\text{przyległa}} $$

Jednak tangens można także wyrazić za pomocą funkcji sinus i cosinus. Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych, otrzymujemy wzór:

$$ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $$

Cotangens

Cotangens kąta $\alpha$ jest funkcją odwrotną do tangensa i można ją wyrazić jako stosunek przyległej przyprostokątnej do przeciwległej przyprostokątnej w trójkącie prostokątnym:

$$ \text{ctg} \alpha = \frac{\text{przyległa}}{\text{przeciwległa}} $$

Cotangens można także wyrazić za pomocą sinusa i cosinusa. Otrzymujemy wzór:

$$ \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $$

Związek między tangensem a cotangensem

Tangens i cotangens są wzajemnie odwrotne względem siebie, co wyraża się wzorem:

$$ \tan \alpha = \frac{1}{\text{ctg} \alpha} $$

Podobnie:

$$ \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} $$

Wzory na tangens i cotangens dla specyficznych wartości kątów

• Dla $\alpha = 0^\circ$: $\tan 0^\circ = 0$, $\text{ctg} 0^\circ = \text{brak}$ (cotangens nie istnieje)
• Dla $\alpha = 45^\circ$: $\tan 45^\circ = 1$, $\text{ctg} 45^\circ = 1$
• Dla $\alpha = 90^\circ$: $\tan 90^\circ = \text{brak}$ (tangens nie istnieje), $\text{ctg} 90^\circ = 0$

Uwagi dotyczące definicji i dziedziny

Tangens i cotangens są funkcjami określonymi na określonych dziedzinach. Funkcja tangens nie istnieje dla kątów o mierze $\alpha = 90^\circ + k \cdot 180^\circ$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą, ponieważ w tych miejscach wartość cosinusa wynosi zero, co prowadzi do nieokreśloności wyrażenia.

Podobnie cotangens nie istnieje dla kątów o mierze $\alpha = k \cdot 180^\circ$, ponieważ w tych punktach wartość sinusa wynosi zero.

Wzory pomocnicze

Znając wzory dla tangensa i cotangensa, możemy wyprowadzić dodatkowe zależności:

• $$ \tan^2 \alpha + 1 = \sec^2 \alpha $$
• $$ 1 + \text{ctg}^2 \alpha = \csc^2 \alpha $$

Zastosowania tangensa i cotangensa

Tangens i cotangens mają szerokie zastosowanie w geometrii, fizyce i innych naukach ścisłych. Stosuje się je w:

• obliczeniach w trójkątach prostokątnych,
• analizie ruchu po okręgu (np. w opisie wektorów i sił),
• fizycznych modelach fal i drgań,
• modelach oscylacyjnych w elektrotechnice.

Podsumowanie

Tangens i cotangens są funkcjami trygonometrycznymi o szerokim zastosowaniu, które można wyrazić za pomocą funkcji sinus i cosinus. Ich wzajemna zależność oraz powiązania z innymi funkcjami trygonometrycznymi pozwalają na efektywne rozwiązywanie równań i upraszczanie wyrażeń matematycznych.