Prostopadłość

Prostopadłość to pojęcie geometryczne oznaczające, że dwie proste, odcinki, płaszczyzny lub wektory przecinają się pod kątem prostym, czyli 90°. Prostopadłość jest jednym z kluczowych pojęć w geometrii euklidesowej, a jej zrozumienie jest niezbędne w wielu dziedzinach matematyki, fizyki i inżynierii. W zależności od kontekstu prostopadłość może odnosić się do obiektów w przestrzeni jedno-, dwu- lub trójwymiarowej.

Definicja prostopadłości

W najprostszym ujęciu dwie proste są prostopadłe, jeśli przecinają się pod kątem 90°. W zapisie matematycznym, jeśli prosta $a$ jest prostopadła do prostej $b$, zapisujemy to jako:

$$a \perp b$$

Podobnie dla innych obiektów geometrycznych, takich jak płaszczyzny lub wektory, możemy mówić o prostopadłości, jeśli kąt między nimi wynosi 90°.

Prostopadłość prostych na płaszczyźnie

Na płaszczyźnie prostopadłość prostych można wyrazić na różne sposoby. Najbardziej intuicyjna definicja mówi, że dwie proste są prostopadłe, jeśli przecinają się pod kątem prostym. Matematycznie, w układzie współrzędnych kartezjańskich, prostopadłość prostych można wyrazić przy pomocy współczynników kierunkowych.

Jeśli dwie proste mają równania:

• Prosta 1: $y = m_1x + c_1$
• Prosta 2: $y = m_2x + c_2$

to te proste są prostopadłe, gdy:

$$m_1 \cdot m_2 = -1.$$

Innymi słowy, iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych musi być równy $-1$. Wynika to z tego, że współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych mają wzajemnie odwrotne i przeciwnie skierowane nachylenia.

Przykład

Rozważmy proste o równaniach $y = 2x + 3$ oraz $y = -\frac{1}{2}x + 1$. Współczynniki kierunkowe to odpowiednio $m_1 = 2$ i $m_2 = -\frac{1}{2}$. Ich iloczyn wynosi:

$$ m_1 \cdot m_2 = 2 \cdot -\frac{1}{2} = -1. $$

Zatem te dwie proste są prostopadłe.

Prostopadłość wektorów

Wektory w przestrzeni są prostopadłe, jeśli kąt między nimi wynosi 90°. W matematyce prostopadłość wektorów sprawdzamy przy pomocy ich iloczynu skalarnego. Jeśli dwa wektory $\mathbf{u}$ i $\mathbf{v}$ są prostopadłe, to ich iloczyn skalarny wynosi 0:

$$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0.$$

Iloczyn skalarny dwóch wektorów $\mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3)$ i $\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)$ w przestrzeni trójwymiarowej wyraża się wzorem:

$$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3.$$

Zatem, jeśli iloczyn skalarny jest równy zeru, wektory są prostopadłe.

Przykład

Rozważmy dwa wektory $\mathbf{u} = (1, 2, -3)$ oraz $\mathbf{v} = (3, -1, 1)$. Ich iloczyn skalarny wynosi:

$$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) + (-3) \cdot 1 = 3 - 2 - 3 = 0.$$

Wynik 0 oznacza, że wektory te są prostopadłe.

Prostopadłość płaszczyzn

W przestrzeni trójwymiarowej można również rozważać prostopadłość płaszczyzn. Dwie płaszczyzny są prostopadłe, jeśli normalne do nich wektory są prostopadłe. Normalny wektor do płaszczyzny jest wektorem prostopadłym do tej płaszczyzny. Jeśli wektory normalne do dwóch płaszczyzn są prostopadłe, to płaszczyzny również są prostopadłe.

Jeżeli równania dwóch płaszczyzn w przestrzeni są postaci:

• Płaszczyzna 1: $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$
• Płaszczyzna 2: $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$

to te płaszczyzny są prostopadłe, jeśli:

$$A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0.$$

Wzór ten wynika z prostopadłości wektorów normalnych do tych płaszczyzn.

Przykład

Rozważmy dwie płaszczyzny o równaniach:

• Płaszczyzna 1: $2x - 3y + z + 5 = 0$
• Płaszczyzna 2: $3x + 2y - 6z + 4 = 0$

Wektory normalne do tych płaszczyzn to odpowiednio $\mathbf{n_1} = (2, -3, 1)$ oraz $\mathbf{n_2} = (3, 2, -6)$. Liczymy ich iloczyn skalarny:

$$2 \cdot 3 + (-3) \cdot 2 + 1 \cdot (-6) = 6 - 6 - 6 = -6.$$

Wynik nie jest równy zero, zatem płaszczyzny te nie są prostopadłe.

Prostopadłość w trójkątach

Prostopadłość ma także zastosowanie w geometrii trójkątów. W szczególności w trójkącie prostokątnym mamy dwie przyprostokątne, które są prostopadłe do siebie. Wysokość opuszczona na podstawę trójkąta może być prostopadła do tej podstawy.

Prostopadłość w trójkątach często wykorzystuje się do rozwiązywania problemów geometrycznych oraz w analizie relacji między bokami i kątami.

Podsumowanie

Prostopadłość to kluczowe pojęcie w geometrii i algebrze, które ma szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach matematyki i nauk technicznych. Pojęcie to pozwala na rozumienie relacji między różnymi obiektami geometrycznymi i wektorami. Warto znać różne sposoby sprawdzania prostopadłości, zarówno w geometrii płaskiej, jak i w przestrzeni trójwymiarowej, ponieważ jest to często wykorzystywane w praktyce.