Zmienne losowe ciągłe

Zmienne losowe ciągłe to zmienne losowe, które mogą przyjmować dowolne wartości z pewnego przedziału liczbowego. W przeciwieństwie do zmiennych losowych dyskretnych, które mogą przyjmować tylko określone, oddzielne wartości, zmienne losowe ciągłe mogą przyjmować każdą wartość w pewnym zakresie. Przykładami zmiennych losowych ciągłych są czas oczekiwania na autobus, temperatura, wzrost czy waga.

Definicja zmiennej losowej ciągłej

Zmienną losową $X$ nazywamy ciągłą, jeżeli istnieje taka funkcja $f(x)$, zwana funkcją gęstości prawdopodobieństwa (PDF - Probability Density Function), że dla dowolnych $a$ i $b$ prawdopodobieństwo, że $X$ przyjmie wartość z przedziału $[a, b)$, jest dane wzorem:

$$ P\{a \le X < b\} = \int_a^b f(x) \, dx $$

Funkcja $f(x)$ spełnia kilka kluczowych właściwości:

Nieujemność: $f(x) \geq 0$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$, co oznacza, że funkcja gęstości prawdopodobieństwa nigdy nie jest ujemna.
Całkowita masa prawdopodobieństwa: $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$. Całkowita powierzchnia pod funkcją gęstości prawdopodobieństwa jest równa 1, co oznacza, że całkowite prawdopodobieństwo jest rozłożone na całej przestrzeni możliwych wartości.

Dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej

Dystrybuanta, zwana także funkcją rozkładu prawdopodobieństwa (CDF - Cumulative Distribution Function), zmiennej losowej ciągłej $X$ jest funkcją $F(x)$, która dla każdej liczby rzeczywistej $x$ określa prawdopodobieństwo, że $X$ przyjmie wartość mniejszą lub równą $x$. Dystrybuanta $F(x)$ jest związana z funkcją gęstości prawdopodobieństwa $f(x)$ za pomocą następującego wzoru:

$$ F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt $$

Funkcja dystrybuanta $F(x)$ ma kilka ważnych właściwości:

Funkcja niemalejąca: Jeśli $a \leq b$, to $F(a) \leq F(b)$, co oznacza, że dystrybuanta nie może zmniejszać się wraz ze wzrostem wartości argumentu.
Granice: $F(-\infty) = 0$ i $F(\infty) = 1$, co oznacza, że dystrybuanta zaczyna się od 0 i kończy na 1, pokrywając cały zakres możliwych wartości.

Przykłady zmiennych losowych ciągłych

Zmienna losowa ciągła może przyjmować nieskończenie wiele wartości w pewnym przedziale, co pozwala na bardziej precyzyjne modelowanie rzeczywistych zjawisk. Oto kilka przykładów zmiennych losowych ciągłych:

Wzrost osoby: Zmienna losowa $X$ reprezentująca wzrost osoby w populacji może przyjmować dowolną wartość z pewnego zakresu, np. od 100 cm do 250 cm. W tym przypadku $X$ jest zmienną losową ciągłą, a jej funkcja gęstości prawdopodobieństwa $f(x)$ opisuje, jak prawdopodobieństwo jest rozłożone wśród różnych wartości wzrostu.
Czas oczekiwania: Zmienna losowa $Y$ oznaczająca czas oczekiwania na autobus na przystanku może przyjmować dowolną wartość z przedziału od 0 minut do pewnego maksimum, np. 30 minut. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa $f(y)$ opisuje, jak często różne czasy oczekiwania występują.
Rozkład normalny: Zmienna losowa $Z$ o rozkładzie normalnym, znana również jako rozkład Gaussa, jest jednym z najważniejszych rozkładów w statystyce i probabilistyce. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa dla zmiennej losowej o rozkładzie normalnym z parametrami średnią $\mu$ i odchyleniem standardowym $\sigma$ jest dana wzorem: $$ f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(z-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$

Zastosowania zmiennych losowych ciągłych

Zmienna losowa ciągła znajduje szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach nauki i techniki. W statystyce, zmienne losowe ciągłe są używane do modelowania rozkładów danych w badaniach eksperymentalnych i obserwacyjnych. W inżynierii, są stosowane do analizy niezawodności systemów oraz przewidywania czasu życia komponentów. W finansach, zmienne losowe ciągłe są wykorzystywane do modelowania stóp zwrotu z inwestycji oraz analizy ryzyka.

Zrozumienie zmiennych losowych ciągłych i ich rozkładów jest kluczowe dla zaawansowanej analizy danych i modelowania zjawisk stochastycznych. Pozwala to na dokładne modelowanie i przewidywanie wyników w wielu różnych dziedzinach, od nauk przyrodniczych po ekonomię i nauki społeczne.