Dodawanie wielomianów

Dodawanie wielomianów polega na sumowaniu wyrazów podobnych, czyli jednomianów, które mają identyczne zmienne podniesione do tych samych potęg. Proces ten umożliwia uproszczenie wyrażeń algebraicznych oraz uzyskanie nowego wielomianu, który jest sumą dwóch lub więcej wielomianów.

Przykład dodawania wielomianów

Rozważmy dwa wielomiany: $2x^3 + 4x^2 - 7x + \sqrt{3}$ oraz $-4x^3 + 8x^2 - x - 2$. Aby je zsumować, należy dodać wyrazy podobne, które mają takie same zmienne i ich potęgi.

Proces dodawania wygląda następująco:

$$(\color{red}{2x^3}\color{blue}{+4x^2}\color{green}{-7x}\color{pink}{+\sqrt{3}}) + (\color{red}{-4x^3}\color{blue}{+8x^2}\color{green}{-x}\color{pink}{-2})$$ $$ = \color{red}{(2 - 4)x^3}\color{blue}{ + (4 + 8)x^2}\color{green}{ + (-7 - 1)x}\color{pink}{ + (\sqrt{3} - 2)} $$ $$ = \color{red}{-2x^3}\color{blue}{+12x^2}\color{green}{-8x}\color{pink}{-2+\sqrt{3}} $$

Ostatecznie, suma dwóch wielomianów to:

$$-2x^3 + 12x^2 - 8x + (\sqrt{3} - 2)$$

Znaczenie dodawania wielomianów

Dodawanie wielomianów jest podstawową operacją algebraiczną, która często występuje w rozwiązywaniu równań, analizie funkcji oraz w przekształceniach algebraicznych. Umiejętność prawidłowego dodawania wielomianów umożliwia efektywne upraszczanie wyrażeń i ułatwia pracę z bardziej złożonymi problemami matematycznymi.

Dodawanie więcej niż dwóch wielomianów

Dodawanie więcej niż dwóch wielomianów odbywa się na tej samej zasadzie, co dodawanie dwóch. Proces ten można powtarzać wielokrotnie, sumując wyrazy podobne ze wszystkich wielomianów. Na przykład, dodając trzy wielomiany:

$$P(x) = 3x^2 + 2x - 1$$

$$Q(x) = -x^2 + 4x + 5$$

$$R(x) = 2x^2 - 6x - 3$$

Sumujemy je, dodając wyrazy podobne:

$$(3x^2 + 2x - 1) + (-x^2 + 4x + 5) + (2x^2 - 6x - 3)$$ $$ = (3 - 1 + 2)x^2 + (2 + 4 - 6)x + (-1 + 5 - 3) $$ $$ = 4x^2 + 0x + 1 = 4x^2 + 1 $$

Wynik sumowania trzech wielomianów to $4x^2 + 1$. Warto zauważyć, że w wyniku dodawania, jeśli wszystkie współczynniki przy danej potędze zmiennej sumują się do zera, ta część wielomianu zanika (jak to miało miejsce w przypadku wyrazu liniowego $x$).