Liczba π (pi)

Liczba π (pi) to stała matematyczna wyrażająca stosunek długości okręgu do jego średnicy. Jest ona jedną z najważniejszych stałych w matematyce i fizyce.

Definicja

Liczba π jest zdefiniowana jako stosunek obwodu koła do jego średnicy:

$$\pi = \frac{\text{obwód koła}}{\text{średnica koła}}$$

W przybliżeniu, π ≈ 3,1415926536...

Właściwości

  • π jest liczbą niewymierną - nie da się jej zapisać jako ułamka dwóch liczb całkowitych.
  • π jest liczbą przestępną - nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych.
  • Rozwinięcie dziesiętne π jest nieskończone i nie ma żadnego okresowego wzorca.

Historia i przybliżenia

Ludzkość od tysiącleci próbowała znaleźć dokładną wartość π. Oto niektóre historyczne przybliżenia:

  • $\pi \approx 18(3-2\sqrt{2})$ - hinduski dział Sulvasutras (co najmniej 500 lat p.n.e)
  • $\pi \approx \sqrt{10}$ - święta księga Jainy (ok. 500 lat p.n.e.)
  • $\pi \approx 3\sqrt{17}$ - przybliżenie Archimedesa
  • $\frac{355}{113}$ - przybliżenie Zu Chongzhi (V wiek n.e.), dokładne do 6 miejsc po przecinku

Zastosowania

Liczba π ma niezliczone zastosowania w matematyce, fizyce i inżynierii:

  • Obliczanie pól i objętości figur geometrycznych
  • Analiza matematyczna: pojawia się w wielu ważnych funkcjach i całkach
  • Fizyka: występuje w równaniach opisujących fale, drgania i pola
  • Statystyka: pojawia się w rozkładzie normalnym
  • Inżynieria: używana w projektowaniu i analizie systemów okresowych

Metody obliczania π

Istnieje wiele metod obliczania π z dowolną dokładnością:

  1. Wzór Leibniza: $\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - ...$
  2. Wzór Ramanujana: $\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}$
  3. Algorytm Chudnovsky'ego: obecnie najszybsza znana metoda obliczania π

Ciekawostki

  1. 14 marca obchodzony jest Dzień Liczby Pi (3.14 w notacji amerykańskiej).
  2. Rekord w zapamiętywaniu cyfr π wynosi ponad 70 000 cyfr (ustanowiony przez Rajveer Meena w 2015 roku).
  3. W 2019 roku obliczono π do 31,4 biliona cyfr po przecinku.
  4. Istnieje metoda szacowania π przez rzucanie igłą (tzw. metoda Monte Carlo).

Podsumowanie

Liczba π, mimo swojej pozornej prostoty, kryje w sobie niezwykłą głębię matematyczną. Jej wszechobecność w matematyce, fizyce i naturze czyni ją jedną z najbardziej fascynujących stałych matematycznych, której badanie wciąż przynosi nowe odkrycia i inspiruje kolejne pokolenia matematyków.