Rozkład geometryczny

Rozkład geometryczny jest jednym z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa stosowanym w statystyce i teorii prawdopodobieństwa. Opisuje on liczbę prób potrzebnych do uzyskania pierwszego sukcesu w serii niezależnych prób Bernoulliego, gdzie każda próba kończy się sukcesem z prawdopodobieństwem $p$ lub porażką z prawdopodobieństwem $1 - p$. Rozkład geometryczny znajduje szerokie zastosowanie w modelowaniu sytuacji, w których interesuje nas liczba prób potrzebnych do osiągnięcia pierwszego sukcesu, takich jak liczba rzutów kostką do uzyskania pierwszej szóstki, liczba dni do pierwszej sprzedaży produktu lub liczba połączeń telefonicznych potrzebnych do uzyskania pierwszej odpowiedzi.

Definicja rozkładu geometrycznego

Zmienna losowa $X$ ma rozkład geometryczny z parametrem $p$ ($0 < p < 1$), jeżeli przyjmuje wartości całkowite nieujemne ($k = 0, 1, 2, ...$) i prawdopodobieństwo, że $X$ przyjmie wartość $k$, jest dane wzorem:

$$ P\{X = k\} = (1 - p)^k p \qquad (k = 0, 1, 2, \ldots) $$

W powyższym wzorze $p$ jest prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie. Rozkład geometryczny można również definiować w alternatywny sposób, przyjmując, że $X$ reprezentuje liczbę prób, w tym również sukces, więc wtedy $X = k$ oznacza, że sukces następuje w $(k+1)$-tej próbie. W takim przypadku rozkład geometryczny wyraża się wzorem:

$$ P\{X = k\} = (1 - p)^{k-1} p \qquad (k = 1, 2, \ldots) $$

Własności rozkładu geometrycznego

Rozkład geometryczny ma kilka istotnych własności, które czynią go użytecznym w analizie zjawisk losowych:

Niezależność prób: Rozkład geometryczny zakłada, że próby są niezależne, co oznacza, że wynik jednej próby nie wpływa na wynik kolejnej.
Stałe prawdopodobieństwo sukcesu: Parametr $p$ jest stały dla każdej próby, co oznacza, że prawdopodobieństwo sukcesu nie zmienia się w miarę wykonywania prób.
Brak pamięci: Rozkład geometryczny ma tzw. właściwość braku pamięci, co oznacza, że prawdopodobieństwo sukcesu w danej próbie nie zależy od liczby wcześniejszych niepowodzeń. Matematycznie, dla dowolnych $m$ i $n$: $$ P\{X > m + n | X > m\} = P\{X > n\} $$
Wartość oczekiwana i wariancja: Dla zmiennej losowej $X$ o rozkładzie geometrycznym z parametrem $p$, wartość oczekiwana i wariancja są dane wzorami: $$ E(X) = \frac{1 - p}{p}, \quad \text{Var}(X) = \frac{1 - p}{p^2} $$

Przykłady zastosowań rozkładu geometrycznego

Rozkład geometryczny znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach nauki, inżynierii, ekonomii i medycyny. Oto kilka typowych przykładów jego zastosowania:

Liczba rzutów kostką: Rozkład geometryczny może być używany do modelowania liczby rzutów kostką potrzebnych do uzyskania pierwszej szóstki. Jeśli prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki wynosi $\frac{1}{6}$, to liczba rzutów do uzyskania pierwszej szóstki ma rozkład geometryczny z parametrem $p = \frac{1}{6}$.
Liczba połączeń telefonicznych: W telekomunikacji rozkład geometryczny może opisywać liczbę połączeń telefonicznych potrzebnych do uzyskania pierwszej odpowiedzi, zakładając, że każde połączenie kończy się odpowiedzią z prawdopodobieństwem $p$.
Proces sprzedaży: W biznesie rozkład geometryczny może modelować liczbę dni potrzebnych do dokonania pierwszej sprzedaży produktu, zakładając, że każdego dnia sprzedaż może się zdarzyć z prawdopodobieństwem $p$.
Badania kliniczne: W medycynie rozkład geometryczny może opisywać liczbę pacjentów potrzebnych do zdiagnozowania pierwszego przypadku rzadkiej choroby w badaniu klinicznym.

Funkcja generująca momenty rozkładu geometrycznego

Funkcja generująca momenty (MGF - Moment Generating Function) rozkładu geometrycznego jest używana do obliczania momentów rozkładu, takich jak średnia i wariancja. Dla zmiennej losowej $X$ o rozkładzie geometrycznym z parametrem $p$, MGF jest dana wzorem:

$$ M_X(t) = \frac{pe^t}{1 - (1 - p)e^t}, \quad \text{dla} \; t < -\ln(1 - p) $$

MGF jest przydatna do obliczania wyższych momentów i jest wykorzystywana w różnych analizach statystycznych, takich jak szacowanie parametrów i testowanie hipotez.

Przykład zastosowania rozkładu geometrycznego

Przykład 1: Liczba rzutów monetą

Załóżmy, że rzucamy monetą, dla której prawdopodobieństwo uzyskania reszki wynosi $p = 0.4$. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza reszka wypadnie w trzecim rzucie?

Rozwiązanie:

Stosujemy wzór na rozkład geometryczny:

$$ P\{X = 2\} = (1 - 0.4)^2 \cdot 0.4 = (0.6)^2 \cdot 0.4 = 0.36 \cdot 0.4 = 0.144 $$

Oznacza to, że prawdopodobieństwo, iż pierwsza reszka wypadnie w trzecim rzucie, wynosi 14.4%.

Rozkład geometryczny w kontekście innych rozkładów

Rozkład geometryczny jest często porównywany z innymi rozkładami prawdopodobieństwa:

Rozkład dwumianowy: Rozkład dwumianowy opisuje liczbę sukcesów w stałej liczbie prób. Rozkład geometryczny, z drugiej strony, opisuje liczbę prób potrzebnych do pierwszego sukcesu.
Rozkład Poissona: Rozkład Poissona modeluje liczbę zdarzeń w określonym czasie lub przestrzeni, gdy zdarzenia te są rzadkie i niezależne. Rozkład geometryczny jest bardziej specyficzny, modelując liczbę prób do pierwszego sukcesu w serii niezależnych prób.

Podsumowanie

Rozkład geometryczny jest cennym narzędziem w statystyce i teorii prawdopodobieństwa, służącym do modelowania liczby prób potrzebnych do uzyskania pierwszego sukcesu w serii niezależnych prób. Dzięki swojej prostocie i intuicyjności jest szeroko stosowany w różnych dziedzinach, takich jak inżynieria, ekonomia, medycyna i badania naukowe. Zrozumienie rozkładu geometrycznego i jego właściwości jest kluczowe dla efektywnego stosowania metod statystycznych i probabilistycznych w praktyce.