Własności funkcji wykładniczej
Funkcja wykładnicza posiada szereg charakterystycznych własności, które różnią się nieco w zależności od wartości podstawy $a$. Poniżej przedstawiamy szczegółowe własności dla dwóch przypadków: $a > 1$ oraz $0 < a < 1$.
Własności funkcji wykładniczej o podstawie $a > 1$
- Dziedzina: $\mathbb{R}$ (zbiór liczb rzeczywistych)
- Zbiór wartości: $\mathbb{R}^+$ (zbiór liczb rzeczywistych dodatnich)
- Monotoniczność: Funkcja jest ściśle rosnąca
- Różnowartościowość: Funkcja jest różnowartościowa (injektywna)
- Miejsca zerowe: Funkcja nie posiada miejsc zerowych
- Parzystość: Funkcja nie jest parzysta
- Nieparzystość: Funkcja nie jest nieparzysta
- Wartości: $f(x) > 0$ dla wszystkich $x \in \mathbb{R}$
- Ciągłość: Funkcja jest ciągła w całej swojej dziedzinie
- Asymptota pozioma: $y = 0$ dla $x \to -\infty$
Własności funkcji wykładniczej o podstawie $0 < a < 1$
- Dziedzina: $\mathbb{R}$ (zbiór liczb rzeczywistych)
- Zbiór wartości: $\mathbb{R}^+$ (zbiór liczb rzeczywistych dodatnich)
- Monotoniczność: Funkcja jest ściśle malejąca
- Różnowartościowość: Funkcja jest różnowartościowa (injektywna)
- Miejsca zerowe: Funkcja nie posiada miejsc zerowych
- Parzystość: Funkcja nie jest parzysta
- Nieparzystość: Funkcja nie jest nieparzysta
- Wartości: $f(x) > 0$ dla wszystkich $x \in \mathbb{R}$
- Ciągłość: Funkcja jest ciągła w całej swojej dziedzinie
- Asymptota pozioma: $y = 0$ dla $x \to +\infty$
Dodatkowe własności wspólne dla obu przypadków
- Punkt przecięcia z osią OY: (0, 1) dla każdej podstawy $a \neq 1$
- Pochodna: $\frac{d}{dx}a^x = a^x \ln a$
- Całka: $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$
- Odwrotność: Funkcja logarytmiczna o tej samej podstawie
Ważne zależności
- $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$
- $a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y}$
- $(a^x)^y = a^{xy}$
- $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$
Zrozumienie tych własności jest kluczowe dla efektywnego rozwiązywania równań wykładniczych i analizy zjawisk, które można modelować za pomocą funkcji wykładniczych.