Mnożenie ułamków

Mnożenie ułamków to operacja, która jest znacznie prostsza niż dodawanie czy odejmowanie ułamków. Nie musimy się martwić o wspólny mianownik - po prostu mnożymy liczniki przez siebie i mianowniki przez siebie.

Podstawowa zasada

Dla dowolnych ułamków $\frac{a}{b}$ i $\frac{c}{d}$, ich iloczyn wynosi:

$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$

Kroki mnożenia ułamków

  1. Pomnóż liczniki przez siebie.
  2. Pomnóż mianowniki przez siebie.
  3. Zapisz wynik jako nowy ułamek.
  4. Jeśli to możliwe, skróć ułamek.

Skracanie na krzyż

Często przy mnożeniu ułamków możemy uprościć obliczenia, stosując technikę skracania na krzyż. Polega ona na znalezieniu wspólnych czynników w licznikach i mianownikach przed mnożeniem.

Przykłady

Przykład 1: Proste mnożenie

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{4}{15}$

Wyjaśnienie: Mnożymy liczniki (2 · 2 = 4) i mianowniki (3 · 5 = 15).

Przykład 2: Skracanie na krzyż

$\require{cancel} \frac{1}{{\cancel{2}}_1} \cdot \frac{\cancel{2}^1}{3} = \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 3} = \frac{1}{3}$

Wyjaśnienie: Przed mnożeniem, skracamy 2 w pierwszym mianowniku z 2 w drugim liczniku. Następnie mnożymy pozostałe liczby.

Przykład 3: Mnożenie z liczbą całkowitą

$3 \cdot \frac{2}{5} = \frac{3}{1} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{6}{5}$

Wyjaśnienie: Traktujemy liczbę całkowitą jako ułamek z mianownikiem 1.

Wskazówki

  • Zawsze sprawdzaj, czy możesz skrócić wynik po mnożeniu.
  • Skracanie na krzyż przed mnożeniem często upraszcza obliczenia.
  • Pamiętaj, że mnożenie przez ułamek mniejszy od 1 zmniejsza wartość, a nie zwiększa!
  • Przy mnożeniu liczb mieszanych, najpierw zamień je na ułamki niewłaściwe.

Mnożenie liczb mieszanych

Przykład: $2\frac{1}{2} \cdot 1\frac{1}{3}$

  1. Zamień na ułamki niewłaściwe: $\frac{5}{2} \cdot \frac{4}{3}$
  2. Pomnóż: $\frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{20}{6}$
  3. Skróć wynik: $\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$

Ćwiczenie

Spróbuj pomnożyć następujące ułamki:

  1. $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}$
  2. $\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10}$
  3. $2\frac{1}{4} \cdot 3\frac{1}{2}$

Pamiętaj, że mnożenie ułamków jest często prostsze niż może się wydawać na pierwszy rzut oka. Praktyka czyni mistrza!