Jedynka trygonometryczna
Jedynka trygonometryczna to jedno z fundamentalnych tożsamości trygonometrycznych. Wyraża ona związek między funkcjami trygonometrycznymi sinus i cosinus dowolnego kąta i ma postać:
$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$
Gdzie $\alpha$ oznacza miarę kąta. Tożsamość ta jest prawdziwa dla wszystkich kątów i jest kluczowym narzędziem w matematyce, szczególnie w trygonometrii i analizie matematycznej. Można ją wyprowadzić z geometrii trójkąta prostokątnego, a jej zrozumienie jest fundamentalne dla wielu zaawansowanych tematów matematycznych.
Dowód jedynki trygonometrycznej dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
Aby udowodnić jedynkę trygonometryczną, zaczniemy od rozważenia trójkąta prostokątnego. Załóżmy, że mamy trójkąt prostokątny o kącie ostrym $\alpha$, w którym:
- Przeciwprostokątna ma długość $c$
- Przyprostokątne mają długości $a$ i $b$
Z definicji funkcji trygonometrycznych sinus i cosinus dla kąta $\alpha$ mamy:
- $\sin\alpha = \frac{a}{c}$ (stosunek długości przyprostokątnej naprzeciw kąta $\alpha$ do przeciwprostokątnej)
- $\cos\alpha = \frac{b}{c}$ (stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta $\alpha$ do przeciwprostokątnej)
Stosując twierdzenie Pitagorasa, które mówi, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej:
$$a^2 + b^2 = c^2$$
Dzieląc obie strony równania przez $c^2$, otrzymujemy:
$$\frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = 1$$
Zauważmy, że $\frac{a}{c} = \sin\alpha$ oraz $\frac{b}{c} = \cos\alpha$. Podstawiając te wartości do równania, otrzymujemy:
$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$
Co kończy dowód jedynki trygonometrycznej dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.
Interpretacja geometryczna
Jedynka trygonometryczna ma także intuicyjną interpretację geometryczną na płaszczyźnie kartezjańskiej. Jeśli weźmiemy dowolny punkt na okręgu jednostkowym (okręgu o promieniu 1, którego środek leży w punkcie $(0,0)$), to współrzędne tego punktu będą równe $(\cos\alpha, \sin\alpha)$ dla kąta $\alpha$, mierzonego od osi x w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Z twierdzenia Pitagorasa dla takiego punktu wynika, że:
$$\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$$
Jest to zgodne z formą jedynki trygonometrycznej, a okrąg jednostkowy dostarcza dodatkowej wizualnej intuicji, dlaczego ta tożsamość jest prawdziwa dla każdego kąta.
Jedynka trygonometryczna dla innych kątów
Dowód przedstawiony powyżej opiera się na kątach ostrych w trójkącie prostokątnym. Jednakże, jedynka trygonometryczna jest prawdziwa dla wszystkich kątów (w tym rozwartych i pełnych), ponieważ funkcje sinus i cosinus są zdefiniowane dla wszystkich kątów, nie tylko dla kątów ostrych.
Przykład dla kąta rozwartego
Rozważmy kąt rozwarty $\alpha$. Na płaszczyźnie kartezjańskiej sinus i cosinus mogą przyjmować wartości ujemne, ale suma ich kwadratów wciąż wynosi 1:
$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$
Tożsamość ta wynika bezpośrednio z faktu, że sinus i cosinus definiują położenie punktu na okręgu jednostkowym, a z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że suma kwadratów odległości w osi x (cosinus) i y (sinus) zawsze wynosi 1.
Zastosowania jedynki trygonometrycznej
Jedynka trygonometryczna ma szerokie zastosowanie w matematyce i fizyce. Poniżej przedstawiamy kilka głównych zastosowań:
- Rozwiązywanie równań trygonometrycznych: Jedynka trygonometryczna jest często używana do przekształcania i upraszczania równań trygonometrycznych. Na przykład, jeśli mamy równanie $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$, to możemy użyć jedynki trygonometrycznej, aby zastąpić jedną z funkcji drugą.
- Analiza funkcji okresowych: W fizyce jedynka trygonometryczna jest używana do analizy funkcji okresowych, takich jak fale sinusoidalne i cosinusoidalne, które są podstawą teorii sygnałów.
- Okrąg jednostkowy: Jedynka trygonometryczna stanowi podstawę definicji funkcji trygonometrycznych w kontekście okręgu jednostkowego. Pomaga w zrozumieniu, jak sinus i cosinus zmieniają się w zależności od kąta na okręgu.
- Tożsamości trygonometryczne: Jedynka trygonometryczna jest często używana do wyprowadzania innych tożsamości trygonometrycznych, takich jak wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów oraz przekształcenia równań trygonometrycznych.
Przykłady użycia jedynki trygonometrycznej
Przykład 1: Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych
Uprość wyrażenie:
$$\sin^2\alpha - \cos^2\alpha + \cos^2\alpha$$
Rozwiązanie:
Korzystając z jedynki trygonometrycznej, możemy zastąpić $\sin^2\alpha$ przez $1 - \cos^2\alpha$:
$$1 - \cos^2\alpha - \cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$
Przykład 2: Znajdowanie wartości sinusa lub cosinusa
Jeśli $\cos\alpha = \frac{3}{5}$, to znajdź $\sin\alpha$, zakładając, że $\alpha$ jest kątem ostrym.
Rozwiązanie:
Stosujemy jedynkę trygonometryczną:
$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$
Podstawiając wartość $\cos\alpha = \frac{3}{5}$:
$$\sin^2\alpha + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1$$
$$\sin^2\alpha + \frac{9}{25} = 1$$
$$\sin^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$
Zatem:
$$\sin\alpha = \frac{4}{5}$$
Podsumowanie
Jedynka trygonometryczna, czyli tożsamość $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, jest jedną z najważniejszych równań w trygonometrii. Jest to fundamentalna zależność, która znajduje szerokie zastosowanie w matematyce, fizyce i innych naukach ścisłych. Dowód tej tożsamości opiera się na twierdzeniu Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego, ale ma zastosowanie do wszystkich kątów, niezależnie od ich wartości. Jest również podstawą wielu zaawansowanych tożsamości i przekształceń trygonometrycznych.