Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia są to reguły rachunkowe pozwalające uprościć obliczenia na liczbach, wielomianach i elementach, dla których obowiązują prawa przemienności, a także łączności dodawania i mnożenia, oraz rozdzielności mnożenia względem dodawania.

Podstawowe wzory skróconego mnożenia

Nazwa Wzór
Różnica kwadratów $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
Różnica sześcianów $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
Suma sześcianów $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
Kwadrat sumy $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Kwadrat różnicy $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
Sześcian sumy $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
Sześcian różnicy $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

Zastosowania wzorów skróconego mnożenia

  1. Upraszczanie wyrażeń algebraicznych: Wzory pozwalają na szybkie przekształcanie skomplikowanych wyrażeń w prostsze formy.
  2. Obliczenia w pamięci: Znajomość wzorów umożliwia szybkie obliczenia bez użycia kalkulatora, np. $101^2 = (100+1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$.
  3. Rozkładanie wielomianów na czynniki: Wzory są przydatne przy faktoryzacji wielomianów.
  4. Rozwiązywanie równań: Niektóre równania można łatwiej rozwiązać po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia.
  5. Optymalizacja obliczeń komputerowych: W programowaniu, wzory te mogą być wykorzystane do zwiększenia wydajności niektórych algorytmów.

Dowody wybranych wzorów

Dowód wzoru na różnicę kwadratów

$a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$

Rozwijamy prawą stronę: $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2$

Dowód wzoru na kwadrat sumy

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$

Rozwijamy lewą stronę: $(a+b)(a+b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Przykłady zastosowań

Przykład 1: Obliczanie kwadratu liczby 98

$98^2 = (100-2)^2 = 100^2 - 2\cdot100\cdot2 + 2^2 = 10000 - 400 + 4 = 9604$

Przykład 2: Rozkład wielomianu

$x^2 - 25 = (x+5)(x-5)$ (wykorzystanie wzoru na różnicę kwadratów)

Przykład 3: Upraszczanie wyrażeń algebraicznych

$(x+3)^2 - (x-3)^2 = (x^2+6x+9) - (x^2-6x+9) = 12x$

Powiązania z innymi tematami

Podsumowanie

Wzory skróconego mnożenia są potężnym narzędziem w algebrze, umożliwiającym szybkie i efektywne przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Ich znajomość i umiejętność stosowania znacznie upraszcza wiele obliczeń matematycznych, od prostych działań arytmetycznych po zaawansowane problemy algebraiczne. Praktyka w stosowaniu tych wzorów rozwija intuicję matematyczną i zdolność do efektywnego manipulowania wyrażeniami algebraicznymi.