Ciąg arytmetyczny

Definicja i podstawowe pojęcia

Ciąg arytmetyczny to ciąg liczbowy, w którym różnica między każdymi dwoma kolejnymi wyrazami jest stała. Tę stałą różnicę oznaczamy symbolem $r$ i nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.

Do pełnego opisu ciągu arytmetycznego potrzebujemy znać dwie wartości:

• $a_1$ - pierwszy wyraz ciągu
• $r$ - różnica ciągu arytmetycznego

Wzory i własności

Wzór ogólny

Wzór ogólny na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

$$a_n = a_1 + (n-1)r$$

gdzie $a_n$ to $n$-ty wyraz ciągu, $a_1$ to pierwszy wyraz, $n$ to numer wyrazu, a $r$ to różnica ciągu.

Różnica ciągu

Różnicę ciągu arytmetycznego możemy obliczyć, odejmując dowolny wyraz ciągu od wyrazu następującego po nim:

$$r = a_{n+1} - a_n$$

Suma wyrazów ciągu

Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego dana jest wzorem:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$

gdzie $S_n$ to suma $n$ pierwszych wyrazów, $a_1$ to pierwszy wyraz, $a_n$ to $n$-ty wyraz, a $n$ to liczba sumowanych wyrazów.

Monotoniczność ciągu arytmetycznego

Ciąg arytmetyczny jest zawsze ciągiem monotonicznym. W zależności od wartości różnicy ciągu, rozróżniamy:

• Ciąg rosnący: gdy różnica jest dodatnia ($r > 0$)
• Ciąg malejący: gdy różnica jest ujemna ($r < 0$)
• Ciąg stały: gdy różnica jest równa zero ($r = 0$)

Przykłady i zastosowania

Przykład 1: Wyznaczanie wyrazów ciągu

Dany jest ciąg arytmetyczny, gdzie $a_1 = 3$ i $r = 2$. Obliczmy piąty wyraz tego ciągu.

Korzystając z wzoru ogólnego:

$$a_5 = a_1 + (5-1)r = 3 + 4 \cdot 2 = 3 + 8 = 11$$

Zatem piąty wyraz ciągu to 11.

Przykład 2: Obliczanie sumy wyrazów

Obliczmy sumę pierwszych 10 wyrazów ciągu arytmetycznego, gdzie $a_1 = 4$ i $r = 3$.

Najpierw obliczmy dziesiąty wyraz ciągu:

$$a_{10} = a_1 + (10-1)r = 4 + 9 \cdot 3 = 4 + 27 = 31$$

Teraz możemy użyć wzoru na sumę:

$$S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{4 + 31}{2} \cdot 10 = 17.5 \cdot 10 = 175$$

Suma pierwszych 10 wyrazów tego ciągu wynosi 175.

Zastosowania praktyczne

Ciągi arytmetyczne znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach, takich jak:

• Finanse: obliczanie rat kredytów, oszczędności przy stałych wpłatach
• Fizyka: ruch jednostajnie przyspieszony
• Programowanie: generowanie sekwencji liczb o stałym przyroście

Zrozumienie ciągów arytmetycznych jest kluczowe dla dalszej nauki matematyki, w tym ciągów geometrycznych i ciągów liczbowych ogólnie.