Najważniejsze rozkłady zmiennych losowych
Poniżej przedstawiono przykłady najczęściej występujących w praktyce zmiennych losowych i ich rozkłady z krótkim objaśnieniem dotyczącym najbardziej typowych sytuacji, w jakich możemy oczekiwać ich występowania.
Rozkład dwumianowy (Bernoulliego). Zmienną losową $s_n$, której rozkład określony jest przez
$$P\{S_n=k\}=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}\qquad (k=0, 1, ..., n)$$
nazywamy zmienną losową o rozkładzie dwumianowym (lub Bernoulliedo).
$S_n$ wyraża łączną ilość sukcesów w $n$ niezależnych doświadczeniach, z których każde daje w wyniku sukces z prawdopodobieństwem $p$.
Rozkład Poissona. O zmiennej losowej $X$ mówimy, że ma rozkład Piossona, jeżeli dla pewnego $\lambda\gt 0$
$$P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\qquad (k=0, 1, ...)$$
Z rozkładem Poissona mamy do czynienia w przypadku badania łącznej ilości zajść pewnego rzadkiego zdarzenia (tzn. zdarzenia o małym prawdopodobieństwie) przy dużej ilości niezależnych prób (np. łączna ilość wypadków ulicznych, czy pożarów danego dnia). Innymi typowymi przykładami zjawisk, w których pojawia się rozkład Poissona, mogą być: ilość cząstek wypromieniowanych w jednostce czasu przez daną substancję radioaktywną, ilość wezwań telefonicznych w centrali na odcinku czasu o danej długości.
Rozkład geometryczny. O zmiennej losowej $X$ mówimy, że ma rozkład geometryczny, jeżeli
$$P\{X=k\}=(1-p)^kp\qquad (0\lt p\lt 1, k=0, 1, 2, ...)$$
Typowym przykładem będzie tu czas oczekiwania $X$ na pierwszy sukces, jeżeli próby powtarzane są niezależnie, w jednakowych odstępach czasu i prawdopodobieństwo sukcesu wynosi $p$.
Rozkład hipergeometryczny. O zmiennej losowej $X$ mówimy, że ma rozkład hipergeometryczny, jeżeli
$$P\{X=k\}=\frac{\begin{pmatrix}m\\k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}N-m\\n-k\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}N\\m\end{pmatrix}}$$
gdzie $n\gt N, m\gt N, k=0, 1, 2, ..., \min(n,m)$.
Rozkład hipergeomatryczny występuje często przy badaniach statystycznych; jeżeli badana populacja ma $N$ elementów, z których $m$ ma pewną interesującą nas cechę, a $N-m$ elementów tej cechy nie ma, i jeżeli losujemy bez zwracania próbkę $n$ elementową, to wyrażenie $P\{X=k\} $podaje prawdopodobieństwo znalezienia dokładnie $k$ elementów z badaną cechą w próbce.
Rozkład normalny. O zmiennej losowej ciągłej $X$ mówimy, że ma rozkład normalny, jeżeli istnieje dla niej gęstość określona wzorem
$$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\right)$$
gdzie $\sigma\gt 0$ i $m$ są stałymi. Z rozkładem tym w szczególnym przypadku $\sigma =1$ i $m=0$ mamy do czynienia przy twierdzeniu Moicre'a-Laplace'a. Rozkład normalny o parametrach $m$ i $\sigma$ oznacza się symbolem $N(m, \sigma)$. W praktyce ze zmiennymi losowymi $X$ o rozkładzie normalnym spotykamy się w przypadkach, gdy na wartość $X$ ma wpływ duża ilość niezależnie działających czynników, z których każdy ma znikomy efekt. Typowym przykładem rozkładu normalnego może być wysokość położenia cząstki w procesie dyfuzji, błąd pomiaru, wzrost ludzki, itp.
Rozkład wykładniczy. Rozkład o gęstości
$$f(x)=\begin{cases}ae^{-ax} & \text{dla} & x\ge 0 \\ 0 & \text{dla} & x\lt 0\end{cases}$$
gdzie $a\lt 0$, nazywamy rozkładem wykładniczym.
Zmienne losowe o rozkładzie wykładniczym pojawiają się np. jako długość życia pewnego typu urządzeń (takich, gdzie prawdopodobieństwo awarii na danym odcinku czasu zależy jedynie od długości tego odcinka i nie zależy od tego, jaka była dotychczasowa długość życia danego urządzenia).