matematyka.wiki

matematyka jest prosta

Szukaj

Menu

Najważniejsze rozkłady zmiennych losowych

Poniżej przedstawiono przykłady najczęściej występujących w praktyce zmiennych losowych i ich rozkłady z krótkim objaśnieniem dotyczącym najbardziej typowych sytuacji, w jakich możemy oczekiwać ich występowania.

Rozkład dwumianowy (Bernoulliego). Zmienną losową $s_n$, której rozkład określony jest przez
$$P\{S_n=k\}=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}\qquad (k=0, 1, ..., n)$$
nazywamy zmienną losową o rozkładzie dwumianowym (lub Bernoulliedo).
$S_n$ wyraża łączną ilość sukcesów w $n$ niezależnych doświadczeniach, z których każde daje w wyniku sukces z prawdopodobieństwem $p$.

Rozkład Poissona. O zmiennej losowej $X$ mówimy, że ma rozkład Piossona, jeżeli dla pewnego $\lambda\gt 0$
$$P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\qquad (k=0, 1, ...)$$
Z rozkładem Poissona mamy do czynienia w przypadku badania łącznej ilości zajść pewnego rzadkiego zdarzenia (tzn. zdarzenia o małym prawdopodobieństwie) przy dużej ilości niezależnych prób (np. łączna ilość wypadków ulicznych, czy pożarów danego dnia). Innymi typowymi przykładami zjawisk, w których pojawia się rozkład Poissona, mogą być: ilość cząstek wypromieniowanych w jednostce czasu przez daną substancję radioaktywną, ilość wezwań telefonicznych w centrali na odcinku czasu o danej długości.

Rozkład geometryczny. O zmiennej losowej $X$ mówimy, że ma rozkład geometryczny, jeżeli
$$P\{X=k\}=(1-p)^kp\qquad (0\lt p\lt 1, k=0, 1, 2, ...)$$
Typowym przykładem będzie tu czas oczekiwania $X$ na pierwszy sukces, jeżeli próby powtarzane są niezależnie, w jednakowych odstępach czasu i prawdopodobieństwo sukcesu wynosi $p$.

Rozkład hipergeometryczny. O zmiennej losowej $X$ mówimy, że ma rozkład hipergeometryczny, jeżeli
$$P\{X=k\}=\frac{\begin{pmatrix}m\\k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}N-m\\n-k\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}N\\m\end{pmatrix}}$$
gdzie $n\gt N, m\gt N, k=0, 1, 2, ..., \min(n,m)$.
Rozkład hipergeomatryczny występuje często przy badaniach statystycznych; jeżeli badana populacja ma $N$ elementów, z których $m$ ma pewną interesującą nas cechę, a $N-m$ elementów tej cechy nie ma, i jeżeli losujemy bez zwracania próbkę $n$ elementową, to wyrażenie $P\{X=k\} $podaje prawdopodobieństwo znalezienia dokładnie $k$ elementów z badaną cechą w próbce.

Rozkład normalny. O zmiennej losowej ciągłej $X$ mówimy, że ma rozkład normalny, jeżeli istnieje dla niej gęstość określona wzorem
$$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\right)$$
gdzie $\sigma\gt 0$ i $m$ są stałymi. Z rozkładem tym w szczególnym przypadku $\sigma =1$ i $m=0$ mamy do czynienia przy twierdzeniu Moicre'a-Laplace'a. Rozkład normalny o parametrach $m$ i $\sigma$ oznacza się symbolem $N(m, \sigma)$. W praktyce ze zmiennymi losowymi $X$ o rozkładzie normalnym spotykamy się w przypadkach, gdy na wartość $X$ ma wpływ duża ilość niezależnie działających czynników, z których każdy ma znikomy efekt. Typowym przykładem rozkładu normalnego może być wysokość położenia cząstki w procesie dyfuzji, błąd pomiaru, wzrost ludzki, itp.

Rozkład wykładniczy. Rozkład o gęstości
$$f(x)=\begin{cases}ae^{-ax} & \text{dla} & x\ge 0 \\ 0 & \text{dla} & x\lt 0\end{cases}$$
gdzie $a\lt 0$, nazywamy rozkładem wykładniczym.
Zmienne losowe o rozkładzie wykładniczym pojawiają się np. jako długość życia pewnego typu urządzeń (takich, gdzie prawdopodobieństwo awarii na danym odcinku czasu zależy jedynie od długości tego odcinka i nie zależy od tego, jaka była dotychczasowa długość życia danego urządzenia).

Cytat na dziś

Nie ma ani jednej dziedziny matematyki, jakkolwiek abstrakcyjna by była, która nie mogła być kiedyś zastosowana do zjawisk rzeczywistego świata.
N.Łobaczewski