Moduł liczby zespolonej

Modułem liczby zespolonej $z = a + bi$ nazywamy długość wektora reprezentującego tę liczbę na płaszczyźnie zespolonej. Moduł liczby zespolonej, oznaczany symbolem $|z|$, jest równy pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów części rzeczywistej i części urojonej liczby zespolonej. Matematycznie moduł liczby zespolonej $z = a + bi$ wyraża się wzorem:

$$ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $$

W przypadku, gdy $z = a + bi$ jest liczbą rzeczywistą (czyli $b = 0$), moduł $z$ jest po prostu wartością bezwzględną liczby rzeczywistej $a$. Moduł liczby zespolonej jest zawsze liczbą nieujemną.

Interpretacja geometryczna modułu liczby zespolonej

Moduł liczby zespolonej $z = a + bi$ można interpretować geometrycznie jako odległość punktu $(a, b)$ od początku układu współrzędnych na płaszczyźnie zespolonej. Jest to długość wektora zaczynającego się w początku układu współrzędnych (0, 0) i kończącego się w punkcie $(a, b)$. Graficznie, jeśli narysujemy liczby zespolone na płaszczyźnie, moduł jest długością odcinka od początku układu współrzędnych do punktu reprezentującego tę liczbę.

Własności modułu liczby zespolonej

Moduł liczby zespolonej posiada wiele ważnych właściwości, które są użyteczne w analizie algebraicznej i geometrycznej liczb zespolonych:

Moduł iloczynu: Moduł iloczynu dwóch liczb zespolonych $z_1 = a + bi$ i $z_2 = c + di$ jest równy iloczynowi ich modułów: $$ |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| $$ Ta właściwość jest analogiczna do właściwości wartości bezwzględnej dla liczb rzeczywistych i jest użyteczna przy mnożeniu liczb zespolonych.
Moduł liczby zespolonej sprzężonej: Moduł liczby zespolonej jest równy modułowi jej sprzężenia: $$ |z| = |\overline{z}| $$ Oznacza to, że liczba zespolona $z = a + bi$ i jej sprzężenie $\overline{z} = a - bi$ mają ten sam moduł.
Moduł sumy (nierówność trójkąta): Moduł sumy dwóch liczb zespolonych jest zawsze mniejszy lub równy sumie modułów tych liczb: $$ |z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2| $$ Jest to znana nierówność trójkąta, która wynika z geometrii płaszczyzny zespolonej. Mówi, że suma długości dwóch boków trójkąta jest zawsze większa lub równa długości trzeciego boku.
Moduł różnicy: Moduł różnicy dwóch liczb zespolonych $z_1$ i $z_2$ jest zawsze większy lub równy różnicy modułów tych liczb: $$ |z_1 - z_2| \geq ||z_1| - |z_2|| $$ Ta właściwość jest również analogiczna do nierówności trójkąta i jest użyteczna w analizie zjawisk oscylacyjnych oraz w obliczeniach numerycznych.
Iloczyn liczby zespolonej i sprzężonej: Iloczyn liczby zespolonej $z$ i jej sprzężenia $\overline{z}$ jest równy kwadratowi modułu tej liczby: $$ z \cdot \overline{z} = |z|^2 $$ Wynika to bezpośrednio z definicji modułu i sprzężenia liczby zespolonej. Ta właściwość jest często używana do obliczania modułu liczby zespolonej.

Zastosowania modułu liczby zespolonej

Moduł liczby zespolonej ma wiele zastosowań w różnych dziedzinach nauki i techniki, takich jak:

Analiza matematyczna: W analizie zespolonej, moduł liczby zespolonej jest kluczowy do badania funkcji zespolonych, całkowania zespolonego i twierdzenia Cauchy’ego.
Elektrotechnika: W analizie obwodów prądu zmiennego, liczby zespolone i ich moduły są używane do reprezentacji impedancji i analizy fazowej napięć i prądów.
Mechanika kwantowa: W mechanice kwantowej, liczby zespolone i ich moduły opisują stany kwantowe, amplitudy prawdopodobieństwa oraz operatory hermitowskie.
Geometria analityczna: Moduł liczby zespolonej jest używany do obliczania odległości między punktami na płaszczyźnie zespolonej, co jest ważne w geometrii i teorii grafów.

Podsumowanie

Moduł liczby zespolonej to kluczowa koncepcja w algebrze i analizie matematycznej, która mierzy odległość liczby zespolonej od początku układu współrzędnych na płaszczyźnie zespolonej. Jego właściwości są analogiczne do właściwości wartości bezwzględnej liczb rzeczywistych, ale mają szersze zastosowania w kontekstach zespolonych i geometrii.