Liczby wymierne

Liczby wymierne to takie liczby, które można zapisać w postaci ułamka zwykłego. Formalnie, liczba wymierna ma postać:

$$\frac{l}{m}$$

gdzie $l$ oraz $m$ to liczby całkowite, a $m \neq 0$.

Definicja formalna

Zbiór liczb wymiernych oznaczamy symbolem $\mathbb{Q}$. Formalnie można go zapisać jako:

$$\mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} : p,q \in \mathbb{Z} \land q \neq 0\right\}$$

gdzie $\mathbb{Z}$ oznacza zbiór liczb całkowitych.

Właściwości liczb wymiernych

  • Zamknięcie: Suma, różnica, iloczyn i iloraz (z wyjątkiem dzielenia przez zero) dwóch liczb wymiernych zawsze dają w wyniku liczbę wymierną.
  • Gęstość: Między dowolnymi dwiema różnymi liczbami wymiernymi zawsze można znaleźć inną liczbę wymierną.
  • Reprezentacja dziesiętna: Każda liczba wymierna ma skończone lub nieskończone okresowe rozwinięcie dziesiętne.

Związek z innymi zbiorami liczbowymi

Każda liczba całkowita jest jednocześnie liczbą wymierną, ponieważ można ją zapisać w postaci ułamka z mianownikiem 1. Na przykład:

$$5 = \frac{5}{1}$$

Oznacza to, że zbiór liczb całkowitych jest podzbiorem zbioru liczb wymiernych:

$$\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$$

Przykłady liczb wymiernych

  • $\frac{1}{2}$ (0.5)
  • $\frac{3}{4}$ (0.75)
  • $-\frac{5}{3}$ (-1.6666...)
  • $2$ ($\frac{2}{1}$ lub 2.0)
  • $-7$ ($-\frac{7}{1}$ lub -7.0)

Znaczenie liczb wymiernych

Liczby wymierne mają szerokie zastosowanie w matematyce i życiu codziennym:

  1. Precyzyjne obliczenia: Umożliwiają dokładne wyrażanie części całości.
  2. Podstawa dla analizy matematycznej: Stanowią fundament dla zrozumienia funkcji i granic.
  3. Zastosowania praktyczne: Używane w finansach, naukach ścisłych i inżynierii.

Zrozumienie liczb wymiernych jest kluczowe dla dalszego zgłębiania matematyki, w tym liczb niewymiernych i rzeczywistych, a także dla zrozumienia bardziej zaawansowanych koncepcji matematycznych.

Podsumowanie

Liczby wymierne stanowią rozszerzenie zbioru liczb całkowitych, umożliwiając precyzyjne wyrażanie części całości. Ich właściwości i zastosowania czynią je niezbędnymi w wielu dziedzinach matematyki, nauki i życia codziennego.