Potęgowanie liczb zespolonych

Podnoszenie liczby zespolonej do potęgi $n$ jest operacją, którą można wygodnie przeprowadzić za pomocą wzoru de Moivre'a. Wzór ten jest szczególnie użyteczny przy pracy z liczbami zespolonymi zapisanymi w postaci trygonometrycznej.

Wzór de Moivre'a

Jeśli liczba zespolona $z$ jest wyrażona w postaci trygonometrycznej jako:

$$ z = |z|(\cos \varphi + i\sin \varphi) $$

to podnoszenie tej liczby do potęgi $n$ (gdzie $n$ jest dowolną liczbą całkowitą) jest wyrażone wzorem de Moivre'a:

$$ (z)^n = [|z|(\cos \varphi + i\sin \varphi)]^n = |z|^n(\cos (n\varphi) + i\sin (n\varphi)) $$

Z powyższego wzoru wynika, że aby podnieść liczbę zespoloną do potęgi $n$, należy:

Podnieść moduł $|z|$ do potęgi $n$: $|z|^n$
Pomnożyć argument $\varphi$ przez $n$: $n\varphi$

Zastosowanie wzoru de Moivre'a

Wzór de Moivre'a jest stosowany zarówno dla potęg całkowitych, jak i ułamkowych, dodatnich oraz ujemnych. Jego zastosowanie pozwala na łatwe obliczenie potęg liczb zespolonych bez konieczności wykonywania skomplikowanych operacji arytmetycznych na częściach rzeczywistych i urojonych.

Przykładowe zastosowania wzoru de Moivre'a:

Potęgi całkowite dodatnie: Podnoszenie do dodatnich potęg całkowitych jest proste i polega na zastosowaniu wzoru de Moivre'a bez dodatkowych modyfikacji. Na przykład, dla $z = |z|(\cos \varphi + i\sin \varphi)$ i $n = 3$, mamy: $$ z^3 = |z|^3(\cos (3\varphi) + i\sin (3\varphi)) $$
Potęgi całkowite ujemne: Przy podnoszeniu liczby zespolonej do potęgi ujemnej $n = -k$, najpierw obliczamy odwrotność liczby, a następnie podnosimy ją do dodatniej potęgi. Na przykład, dla $n = -2$, mamy: $$ z^{-2} = \left(\frac{1}{|z|}\right)^2\left(\cos(-2\varphi) + i\sin(-2\varphi)\right) $$ gdzie $|z| \neq 0$.
Potęgi ułamkowe: Dla potęg ułamkowych wzór de Moivre'a może prowadzić do wieloznacznych wyników, ponieważ funkcje trygonometryczne są okresowe. Dla $n = \frac{1}{m}$ (pierwiastek $m$-tego stopnia z liczby zespolonej) należy uwzględniać wszystkie możliwe rozwiązania wynikające z okresowości funkcji sinus i cosinus. Na przykład: $$ z^{\frac{1}{2}} = \sqrt{|z|}\left(\cos \frac{\varphi}{2} + i\sin \frac{\varphi}{2}\right) $$ gdzie należy uwzględnić, że każda liczba zespolona ma dwa pierwiastki kwadratowe, różniące się o kąt $\pi$.

Przykłady

Rozważmy kilka przykładów zastosowania wzoru de Moivre'a:

Przykład 1: Podnoszenie liczby zespolonej do trzeciej potęgi. Niech $z = 2(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6})$. Zastosujmy wzór de Moivre'a dla $n = 3$: $$ z^3 = 2^3(\cos (3 \cdot \frac{\pi}{6}) + i\sin (3 \cdot \frac{\pi}{6})) = 8(\cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2}) = 8i $$
Przykład 2: Podnoszenie liczby zespolonej do potęgi ujemnej. Dla $z = 3(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4})$ i $n = -1$, mamy: $$ z^{-1} = \frac{1}{3}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4})) = \frac{1}{3}(\cos \frac{\pi}{4} - i\sin \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{3}(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) $$
Przykład 3: Podnoszenie liczby zespolonej do potęgi ułamkowej. Dla $z = 4(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3})$ i $n = \frac{1}{2}$, mamy: $$ z^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4}(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}) = 2(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}) $$

Własności liczby zespolonej $i$

Liczba zespolona $i$ ma kilka szczególnych właściwości, które wynikają z jej definicji i wzoru de Moivre'a:

$i^2 = -1$
$i^3 = -i$
$i^4 = 1$
Ogólnie: $i^{4n + k} = i^k$ dla dowolnej liczby całkowitej $n$ i $k = 0, 1, 2, 3$

Te właściwości wynikają z cyklicznej natury potęg liczby $i$ i są często wykorzystywane w obliczeniach z liczbami zespolonymi.

Podsumowanie

Wzór de Moivre'a jest potężnym narzędziem w analizie zespolonej, umożliwiającym łatwe podnoszenie liczb zespolonych do różnych potęg. Pozwala na wygodne obliczenia zarówno dla potęg całkowitych, jak i ułamkowych, upraszczając operacje na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej.