Liczby Fermata

Liczby Fermata to specjalna sekwencja liczb całkowitych, nazwana na cześć francuskiego matematyka Pierre'a de Fermata. Są one przedmiotem intensywnych badań w teorii liczb.

Definicja

Liczby Fermata są zdefiniowane dla nieujemnych liczb całkowitych n według wzoru:

$$F_n=2^{2^n}+1$$

gdzie n = 0, 1, 2, 3, ...

Pierwsze liczby Fermata

Oto kilka pierwszych liczb Fermata:

• $F_0=2^{2^0}+1=3$
• $F_1=2^{2^1}+1=5$
• $F_2=2^{2^2}+1=17$
• $F_3=2^{2^3}+1=257$
• $F_4=2^{2^4}+1=65537$
• $F_5=2^{2^5}+1=4294967297$

Historia i hipoteza Fermata

Pierre de Fermat wysunął hipotezę, że wszystkie liczby tej postaci są liczbami pierwszymi. Rzeczywiście, pierwsze pięć liczb Fermata (F₀ do F₄) to liczby pierwsze.

Jednakże, w 1732 roku Leonhard Euler obalił tę hipotezę, pokazując, że:

$F_5=4294967297=641\cdot 6700417$

Jest to liczba złożona, co obaliło przypuszczenie Fermata.

Właściwości liczb Fermata

1. Każda liczba Fermata jest nieparzysta.
2. Dwie różne liczby Fermata są względnie pierwsze.
3. Dla n > 1, F_n jest zawsze liczbą złożoną, jeśli n nie jest potęgą dwójki.
4. Iloczyn wszystkich liczb Fermata od F₀ do F_n plus 2 daje F_(n+1).

Znane liczby pierwsze Fermata

Do dzisiaj znanych jest tylko pięć liczb pierwszych Fermata:

• $F_0=3$
• $F_1=5$
• $F_2=17$
• $F_3=257$
• $F_4=65537$

Nie wiadomo, czy istnieją jakiekolwiek inne liczby pierwsze Fermata.

Zastosowania

Liczby Fermata, mimo swojej pozornej abstrakcyjności, mają praktyczne zastosowania:

• Konstrukcje geometryczne: Liczby pierwsze Fermata są związane z konstrukcją wielokątów foremnych za pomocą cyrkla i linijki.
• Teoria kodowania: Wykorzystywane w niektórych algorytmach korekcji błędów.
• Kryptografia: Badania nad liczbami Fermata przyczyniły się do rozwoju metod faktoryzacji dużych liczb, co ma znaczenie w kryptografii.
• Generatory liczb pseudolosowych: Wykorzystywane w niektórych algorytmach generowania liczb pseudolosowych.

Ciekawostki

1. Największa znana liczba złożona Fermata to $F_{2747497}$, odkryta w 2021 roku.
2. Hipoteza, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Fermata, pozostaje nierozstrzygnięta.
3. Liczby Fermata są ściśle związane z liczbami Mersenne'a, inną ważną klasą liczb w teorii liczb.
4. Carl Friedrich Gauss odkrył, że regularne 17-kąty można skonstruować za pomocą cyrkla i linijki, wykorzystując fakt, że 17 jest liczbą pierwszą Fermata.

Podsumowanie

Liczby Fermata, choć początkowo były przedmiotem błędnej hipotezy, okazały się fascynującym obiektem badań matematycznych. Ich właściwości i związki z innymi obszarami matematyki sprawiają, że nadal są one przedmiotem intensywnych badań i źródłem nowych odkryć w teorii liczb.