matematyka.wiki

matematyka jest prosta

Szukaj

Menu

Rozkładanie wielomianu na czynniki

W wielu przypadkach można przedstawić wielomian w postaci iloczynów (jednomianów lub wielomianów) za pomocą wyciągnięcia poza nawias, metody grupowania, zastosowania wzorów skróconego mnożenia dzielenia i uzyskania własności równań algebraicznych.

Przykłady:

  1. Wyciągnięcie poza nawias: $8ax^2y-6bx^3y^2+4cx^5=2x^2(4ay-3bxy^2+2cx^3)$
  2. Metoda grupowania: $6x^2+xy-y^2-10xz-5yz=6x^2+3xy-2xy-y^2-10xz-5yz=3x(2x+y)-y(2x+y)-5z(2x+y)=(2x+y)(3x-y-5z)$
  3. Uzyskanie własności równań algebraicznych $P(x)=x^6-2x^5+4x^4+2x^3-5x^2$. Wyciągamy $x^2$ poza nawias, otrzymujemy: $P(x)=x^2(x^4-2x^3+4x^2+2x-5)$. Metodą prób ustalamy, że liczby $z_1=1$ i $x_2=-1$ są pierwiastkami równania $P(x)=0$. Dzieląc $P(x)$ przez $x^2(x-1)(x+1)$, czyli przez $x^4-x^3$, otrzymujemy w ilorazie $x^2-2x+5$. Wyróżnik tego trójmianu jest ujemny, a więc wyrażenie nie może być już rozłożone na czynniki rzeczywiste. Tak więc ostatecznie: $x^6-2x^5+4x^4+2x^3-5x^2=x^2(x-1)(x+2)(x^2-2x+5)$

Cytat na dziś

Jakie to szczęście być matematykiem w naszych czasach!
D.Hilbert