Szereg geometryczny

Szereg geometryczny to jeden z najprostszych i najważniejszych rodzajów szeregów liczbowych. Jest to suma nieskończonej liczby wyrazów ciągu geometrycznego.

Definicja

Szereg geometryczny ma postać:

$$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots$$

gdzie:

• $a$ - pierwszy wyraz szeregu (dla $n=0$)
• $r$ - iloraz ciągu geometrycznego (zwany też współczynnikiem szeregu)

Zbieżność

Zbieżność szeregu geometrycznego zależy od wartości ilorazu $r$:

• Dla $|r| < 1$, szereg jest zbieżny
• Dla $|r| \geq 1$, szereg jest rozbieżny

Suma szeregu zbieżnego

Dla $|r| < 1$, suma szeregu geometrycznego dana jest wzorem:

$$S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$$

Przykłady

Przykład 1: Szereg zbieżny

Rozważmy szereg $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$

Tu $a=1$, $r=\frac{1}{2}$. Ponieważ $|r| < 1$, szereg jest zbieżny, a jego suma wynosi:

$$S_{\infty} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2$$

Przykład 2: Szereg rozbieżny

Rozważmy szereg $1 + 2 + 4 + 8 + \cdots$

Tu $a=1$, $r=2$. Ponieważ $|r| > 1$, szereg jest rozbieżny.

Zastosowania

Szeregi geometryczne mają liczne zastosowania w matematyce i innych dziedzinach:

• W matematyce finansowej do obliczania wartości bieżącej rent wieczystych
• W teorii prawdopodobieństwa przy analizie pewnych rozkładów prawdopodobieństwa
• W fizyce do opisu zjawisk periodycznych
• W teorii sygnałów przy analizie odpowiedzi układów na wymuszenie skokowe

Związek z ułamkami okresowymi

Szeregi geometryczne są ściśle związane z rozwinięciami dziesiętnymi ułamków okresowych. Na przykład:

$$0,\overline{3} = 0,3333\ldots = \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + \cdots = \frac{3}{10} \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{10})^n = \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{10}} = \frac{1}{3}$$

Podsumowanie

Szereg geometryczny jest fundamentalnym pojęciem w teorii szeregów. Jego prostota i jednocześnie bogactwo zastosowań czynią go doskonałym punktem wyjścia do studiowania bardziej zaawansowanych zagadnień analizy matematycznej. Zrozumienie zachowania szeregu geometrycznego w zależności od jego ilorazu jest kluczowe dla głębszego zrozumienia koncepcji zbieżności szeregów.