Wysokość trójkąta
Wysokość trójkąta jest to odcinek prostopadły do danego boku trójkąta łączący bok trójkąta z przeciwległym wierzchołkiem. Wysokość przeważnie oznaczamy literką $h$.
Właściwości wysokości trójkąta
- Każdy trójkąt ma trzy wysokości, po jednej dla każdego boku.
- Wysokość dzieli bok, na który jest opuszczona, na dwie części.
- W trójkącie prostokątnym, dwie z wysokości pokrywają się z przyprostokątnymi.
- Wszystkie trzy wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie, zwanym ortocentrum.
Obliczanie wysokości
Wysokość trójkąta można obliczyć na różne sposoby, w zależności od dostępnych danych:
1. Znając pole i podstawę trójkąta
Jeśli znamy pole trójkąta $P$ i długość podstawy $a$, wysokość $h$ można obliczyć ze wzoru:
$$h = \frac{2P}{a}$$
2. W trójkącie prostokątnym
W trójkącie prostokątnym wysokość opuszczona na przeciwprostokątną $c$ można obliczyć, znając przyprostokątne $a$ i $b$:
$$h = \frac{ab}{c}$$
3. Używając twierdzenia Herona
Jeśli znamy długości wszystkich boków trójkąta ($a$, $b$, $c$), możemy użyć twierdzenia Herona do obliczenia wysokości:
$$h = \frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}$$
gdzie $p = \frac{a+b+c}{2}$ (połowa obwodu trójkąta).
Ciekawostki
- W trójkącie równobocznym wszystkie wysokości są równe i dzielą się wzajemnie w stosunku 2:1.
- Punkt przecięcia wysokości (ortocentrum) leży wewnątrz trójkąta ostrokątnego, na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego i na zewnątrz trójkąta rozwartokątnego.
Podsumowanie
Wysokość trójkąta jest kluczowym pojęciem w geometrii, mającym szerokie zastosowanie w matematyce i naukach stosowanych. Zrozumienie właściwości i metod obliczania wysokości trójkąta jest niezbędne dla dalszego studiowania geometrii i trygonometrii.