Dzielenie ułamków

Dzielenie ułamków może początkowo wydawać się skomplikowane, ale w rzeczywistości sprowadza się do prostej zasady: dzielenie przez ułamek jest tym samym, co mnożenie przez jego odwrotność.

Podstawowa zasada

Dla dowolnych ułamków $\frac{a}{b}$ i $\frac{c}{d}$, ich iloraz wynosi:

$$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$$

Kroki dzielenia ułamków

  1. Zamień dzielenie na mnożenie przez odwrotność drugiego ułamka.
  2. Pomnóż liczniki przez siebie.
  3. Pomnóż mianowniki przez siebie.
  4. Zapisz wynik jako nowy ułamek.
  5. Jeśli to możliwe, skróć ułamek.

Przykłady

Przykład 1: Proste dzielenie ułamków

$\frac{2}{3} : \frac{1}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{1} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 1} = \frac{8}{3}$

Wyjaśnienie: Zamieniamy $\frac{1}{4}$ na jego odwrotność $\frac{4}{1}$, a następnie mnożymy ułamki.

Przykład 2: Dzielenie z możliwością skrócenia

$\frac{3}{4} : \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

Wyjaśnienie: Po pomnożeniu, skracamy ułamek $\frac{6}{4}$ do $\frac{3}{2}$, a następnie zamieniamy na liczbę mieszaną.

Przykład 3: Dzielenie liczby całkowitej przez ułamek

$6 : \frac{3}{4} = 6 \cdot \frac{4}{3} = \frac{6 \cdot 4}{1 \cdot 3} = \frac{24}{3} = 8$

Wyjaśnienie: Traktujemy 6 jako $\frac{6}{1}$, a następnie mnożymy przez odwrotność $\frac{3}{4}$.

Wskazówki

  • Pamiętaj, że dzielenie przez ułamek to to samo, co mnożenie przez jego odwrotność.
  • Zawsze sprawdzaj, czy możesz skrócić wynik po dzieleniu.
  • Przy dzieleniu przez liczbę mniejszą od 1, wynik będzie większy od dzielnej.
  • Przy dzieleniu liczb mieszanych, najpierw zamień je na ułamki niewłaściwe.

Dzielenie liczb mieszanych

Przykład: $2\frac{1}{2} : 1\frac{1}{4}$

  1. Zamień na ułamki niewłaściwe: $\frac{5}{2} : \frac{5}{4}$
  2. Zamień dzielenie na mnożenie przez odwrotność: $\frac{5}{2} \cdot \frac{4}{5}$
  3. Pomnóż: $\frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$

Ćwiczenie

Spróbuj podzielić następujące ułamki:

  1. $\frac{3}{4} : \frac{1}{2}$
  2. $\frac{5}{6} : \frac{2}{3}$
  3. $3\frac{1}{3} : 1\frac{1}{2}$

Pamiętaj, że chociaż dzielenie ułamków może początkowo wydawać się trudne, z praktyką staje się intuicyjne. Kluczem jest zapamiętanie zasady "odwróć i pomnóż"!