Związki pomiędzy bokami i kątami w trójkącie
W dowolnym trójkącie zachodzą następujące związki pomiędzy bokami i kątami zwane twierdzeniami, przedstawiane za pomocą wzorów:
Wzór sinusów (twierdzenie Snelliusa):
$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$$
Wzory cosinusów (twierdzenie Cartona):
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha \\
b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta \\
c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$
Wzór tangensów (twierdzenie Regiomontana):
$$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\text{tg}\frac{1}{2}(\alpha+\beta)}{\text{tg}\frac{1}{2}(\alpha-\beta)}$$
Wzory Newtona:
$$\frac{a+b}{c}=\frac{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}=\frac{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{\sin\frac{\gamma}{2}}$$
Wzory Mollweidego:
$$\frac{a-b}{c}=\frac{\sin\frac{\alpha-\beta}{2}}{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}}=\frac{\sin\frac{\alpha-\beta}{2}}{\cos\frac{\gamma}{2}}$$
Wzory połówkowe:
$$\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}} \\
\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)p}{bc}} \\
\text{tg}\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}$$