Związki pomiędzy bokami i kątami w trójkącie

W dowolnym trójkącie zachodzą następujące związki pomiędzy bokami i kątami zwane twierdzeniami, przedstawiane za pomocą wzorów:

1. Wzór sinusów (twierdzenie Snelliusa)

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$$

gdzie $R$ to promień okręgu opisanego na trójkącie.

2. Wzory cosinusów (twierdzenie Cartona)

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha $$ $$b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta $$ $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$

Wzory te są uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa na dowolne trójkąty.

3. Wzór tangensów (twierdzenie Regiomontana)

$$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\text{tg}\frac{1}{2}(\alpha+\beta)}{\text{tg}\frac{1}{2}(\alpha-\beta)}$$

Ten wzór jest szczególnie użyteczny w trygonometrii i geometrii analitycznej.

4. Wzory Newtona

$$\frac{a+b}{c}=\frac{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}=\frac{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{\sin\frac{\gamma}{2}}$$

Wzory te łączą długości boków z funkcjami trygonometrycznymi połowy kątów.

5. Wzory Mollweidego

$$\frac{a-b}{c}=\frac{\sin\frac{\alpha-\beta}{2}}{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}}=\frac{\sin\frac{\alpha-\beta}{2}}{\cos\frac{\gamma}{2}}$$

Podobnie jak wzory Newtona, te wzory również wiążą boki trójkąta z funkcjami trygonometrycznymi połowy kątów.

6. Wzory połówkowe

$$\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}} $$ $$\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)p}{bc}} $$ $$\text{tg}\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}$$

gdzie $p$ to połowa obwodu trójkąta, czyli $p=\frac{a+b+c}{2}$.

Znaczenie i zastosowania

Powyższe wzory mają kluczowe znaczenie w trygonometrii i geometrii:

• Umożliwiają rozwiązywanie trójkątów, gdy znane są różne kombinacje boków i kątów.
• Znajdują zastosowanie w geodezji, nawigacji i astronomii.
• Są podstawą wielu metod obliczeniowych w matematyce i fizyce.
• Pozwalają na analizę i projektowanie struktur w inżynierii i architekturze.

Podsumowanie

Znajomość związków pomiędzy bokami i kątami w trójkącie jest fundamentalna dla zaawansowanej geometrii i trygonometrii. Wzory te, choć początkowo mogą wydawać się skomplikowane, są potężnymi narzędziami w rozwiązywaniu problemów geometrycznych i w praktycznych zastosowaniach w różnych dziedzinach nauki i techniki.