Rozkład Poissona

Rozkład Poissona jest jednym z fundamentalnych rozkładów prawdopodobieństwa stosowanym w statystyce i teorii prawdopodobieństwa. Opisuje on liczbę zdarzeń, które występują w określonym przedziale czasu lub przestrzeni, przy założeniu, że zdarzenia te występują niezależnie od siebie oraz że średnia liczba zdarzeń w jednostce czasu lub przestrzeni jest stała. Rozkład Poissona znajduje szerokie zastosowanie w modelowaniu zjawisk rzadkich, takich jak liczba wypadków drogowych, liczba awarii maszyn, liczba połączeń telefonicznych w centrali czy liczba promieni kosmicznych docierających do detektora.

Definicja rozkładu Poissona

Zmienna losowa $X$ ma rozkład Poissona z parametrem $\lambda > 0$, jeżeli przyjmuje wartości całkowite nieujemne ($k = 0, 1, 2, ...$), a prawdopodobieństwo uzyskania wartości $k$ wyraża się wzorem:

$$ P\{X = k\} = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \qquad (k = 0, 1, 2, \ldots) $$

W powyższym wzorze $\lambda$ jest zarówno wartością oczekiwaną (średnią) zmiennej losowej $X$, jak i jej wariancją. Parametr $\lambda$ reprezentuje średnią liczbę zdarzeń występujących w danym przedziale czasowym lub przestrzennym.

Własności rozkładu Poissona

Rozkład Poissona ma kilka istotnych własności, które czynią go użytecznym w analizie zjawisk losowych:

Niezależność zdarzeń: Rozkład Poissona zakłada, że zdarzenia są niezależne. Wystąpienie jednego zdarzenia nie wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia kolejnego.
Stała średnia: Parametr $\lambda$ jest stały dla danego rozkładu i reprezentuje średnią liczbę zdarzeń na jednostkę miary (czas lub przestrzeń).
Rzadkość zdarzeń: Rozkład Poissona dobrze modeluje sytuacje, w których zdarzenia są rzadkie, a ich liczba jest mała w stosunku do całkowitej liczby możliwych zdarzeń.
Wartość oczekiwana i wariancja: Dla zmiennej losowej $X$ o rozkładzie Poissona z parametrem $\lambda$, zarówno wartość oczekiwana, jak i wariancja są równe $\lambda$: $$ E(X) = \lambda, \quad \text{Var}(X) = \lambda $$

Przykłady zastosowań rozkładu Poissona

Rozkład Poissona znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach nauki, inżynierii, finansów i medycyny. Oto kilka typowych przykładów jego zastosowania:

Liczba wypadków drogowych: Rozkład Poissona może być użyty do modelowania liczby wypadków drogowych w ciągu dnia na danej drodze, zakładając, że wypadki te są niezależne i występują z określoną średnią częstotliwością.
Liczba awarii maszyn: W inżynierii rozkład Poissona jest używany do przewidywania liczby awarii maszyn w określonym czasie pracy, co jest kluczowe dla planowania przeglądów i konserwacji.
Liczba połączeń telefonicznych: W telekomunikacji rozkład Poissona może opisywać liczbę połączeń telefonicznych przychodzących na centralę w ciągu godziny, co pomaga w zarządzaniu zasobami i obsługą klienta.
Liczba cząstek radioaktywnych: W fizyce jądrowej rozkład Poissona modeluje liczbę cząstek emitowanych przez źródło promieniowania w określonym czasie, co jest istotne dla bezpieczeństwa i detekcji promieniowania.

Twierdzenie Poissona jako przybliżenie rozkładu dwumianowego

Rozkład Poissona może być używany jako przybliżenie rozkładu dwumianowego w sytuacjach, gdy liczba prób $n$ jest duża, a prawdopodobieństwo sukcesu $p$ jest małe, tak że wartość $\lambda = np$ pozostaje skończona. W takich przypadkach rozkład dwumianowy $B(n, p)$ z parametrami $n$ i $p$ zbliża się do rozkładu Poissona z parametrem $\lambda = np$:

$$ \lim_{n \to \infty, \, p \to 0, \, np = \lambda} \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} $$

To przybliżenie jest szczególnie przydatne w analizie dużych zbiorów danych, gdzie zdarzenia są rzadkie i niezależne.

Rozkład Poissona a inne rozkłady

Rozkład Poissona jest często porównywany z innymi rozkładami prawdopodobieństwa, takimi jak rozkład dwumianowy i rozkład normalny:

Rozkład dwumianowy: Rozkład Poissona jest przybliżeniem rozkładu dwumianowego w sytuacjach, gdy $n$ jest duże, a $p$ jest małe. Rozkład dwumianowy opisuje liczbę sukcesów w skończonej liczbie prób, podczas gdy rozkład Poissona modeluje liczbę zdarzeń w nieskończonej przestrzeni prób z małym prawdopodobieństwem sukcesu.
Rozkład normalny: W miarę wzrostu wartości parametru $\lambda$, rozkład Poissona zbliża się do rozkładu normalnego z wartością oczekiwaną $\mu = \lambda$ i wariancją $\sigma^2 = \lambda$. W praktyce, dla $\lambda > 30$, rozkład Poissona jest dobrze przybliżany przez rozkład normalny.

Funkcja generująca momenty rozkładu Poissona

Funkcja generująca momenty (MGF - Moment Generating Function) rozkładu Poissona jest używana do obliczania momentów rozkładu, takich jak średnia i wariancja. Dla zmiennej losowej $X$ o rozkładzie Poissona z parametrem $\lambda$, MGF jest dana wzorem:

$$ M_X(t) = E(e^{tX}) = e^{\lambda (e^t - 1)} $$

MGF jest przydatna do obliczania wyższych momentów i jest wykorzystywana w różnych analizach statystycznych, takich jak szacowanie parametrów i testowanie hipotez.

Przykład zastosowania rozkładu Poissona

Przykład 1: Liczba awarii maszyn

Fabryka posiada 10 maszyn, z których każda ma średnio 0.2 awarii na dzień. Jaka jest prawdopodobieństwo, że w ciągu jednego dnia wystąpią dokładnie 2 awarie?

Rozwiązanie:

Parametr $\lambda$ dla całej fabryki wynosi: $$ \lambda = 10 \times 0.2 = 2 $$

Używając wzoru na rozkład Poissona, obliczamy prawdopodobieństwo $P\{X = 2\}$:

$$ P\{X = 2\} = \frac{2^2}{2!} e^{-2} = \frac{4}{2} e^{-2} = 2e^{-2} \approx 0.2707 $$

Oznacza to, że prawdopodobieństwo wystąpienia dokładnie 2 awarii w ciągu jednego dnia wynosi około 27%.

Podsumowanie

Rozkład Poissona jest niezwykle użytecznym narzędziem w statystyce i probabilistyce do modelowania zdarzeń rzadkich, które występują w określonym przedziale czasowym lub przestrzennym. Jego prostota i szerokie zastosowanie czynią go jednym z najczęściej używanych rozkładów w analizie danych, inżynierii, medycynie, finansach i wielu innych dziedzinach. Zrozumienie rozkładu Poissona i jego właściwości jest kluczowe dla efektywnego stosowania metod statystycznych w praktyce.