Szereg potęgowy

Szereg potęgowy to specjalny rodzaj szeregu liczbowego, w którym każdy wyraz jest mnożony przez kolejne potęgi zmiennej. Jest to jedno z kluczowych pojęć w analizie matematycznej, szczególnie ważne w teorii funkcji zespolonych.

Definicja

Szereg potęgowy o środku w punkcie $a$ ma postać:

$$\sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + c_3(x-a)^3 + \cdots$$

gdzie $c_n$ są współczynnikami szeregu, a $x$ jest zmienną.

Promień zbieżności

Kluczowym pojęciem związanym z szeregami potęgowymi jest promień zbieżności. Jest to liczba $R$, taka że:

  • Szereg jest zbieżny dla wszystkich $x$, gdy $|x-a| < R$
  • Szereg jest rozbieżny dla wszystkich $x$, gdy $|x-a| > R$

Promień zbieżności można obliczyć za pomocą wzoru:

$$R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}}$$

Własności

  1. Szereg potęgowy jest zawsze zbieżny w swoim środku (dla $x = a$).
  2. W przedziale zbieżności szereg potęgowy jest zbieżny jednostajnie.
  3. Suma szeregu potęgowego jest funkcją ciągłą w przedziale zbieżności.
  4. Szereg potęgowy można różniczkować i całkować wyraz po wyrazie w przedziale zbieżności.

Przykłady

  1. Szereg wykładniczy: $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
  2. Szereg dla sinusa: $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
  3. Szereg geometryczny: $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$ dla $|x| < 1$

Zastosowania

Szeregi potęgowe mają liczne zastosowania w matematyce i fizyce:

  • Reprezentacja funkcji analitycznych
  • Rozwiązywanie równań różniczkowych
  • Aproksymacja funkcji (np. szeregi Taylora)
  • Obliczenia numeryczne

Podsumowanie

Szeregi potęgowe są potężnym narzędziem w analizie matematycznej, łączącym algebrę z analizą. Ich zrozumienie jest kluczowe dla głębszego poznania funkcji i ich właściwości, co ma zastosowanie w wielu dziedzinach matematyki i nauk ścisłych.