Mnożenie liczb zespolonych

Mnożenie dwóch liczb zespolonych polega na zastosowaniu odpowiednich wzorów dla ich części rzeczywistych i urojonych. Jeśli mamy dwie liczby zespolone $z_1 = a_1 + b_1i$ oraz $z_2 = a_2 + b_2i$, to ich iloczyn $z = z_1 \cdot z_2$ jest określony wzorem:

$$ z_1 \cdot z_2 = (a_1 + b_1i)(a_2 + b_2i) = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2)i $$

W tym wzorze:

$a_1$ i $a_2$ – części rzeczywiste liczb zespolonych $z_1$ i $z_2$
$b_1$ i $b_2$ – części urojone liczb zespolonych $z_1$ i $z_2$

Iloczyn liczb zespolonych jest uzyskiwany poprzez zastosowanie rozdzielności mnożenia względem dodawania oraz tożsamości $i^2 = -1$. W wyniku mnożenia powstaje nowa liczba zespolona, której część rzeczywista jest równa różnicy iloczynów części rzeczywistych i części urojonych, a część urojona jest sumą iloczynów części rzeczywistej jednej liczby zespolonej i części urojonej drugiej liczby zespolonej.

Mnożenie w postaci trygonometrycznej

Mnożenie liczb zespolonych można również przeprowadzać, gdy liczby te są dane w postaci trygonometrycznej. Jeśli liczby zespolone $z_1$ i $z_2$ są dane w postaci trygonometrycznej:

$$ z_1 = |z_1|(\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1), \quad z_2 = |z_2|(\cos \varphi_2 + i\sin \varphi_2) $$

to ich iloczyn $z = z_1 \cdot z_2$ jest dany wzorem:

$$ z_1 \cdot z_2 = |z_1||z_2|[\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2)] $$

Z powyższego wzoru wynika, że:

Moduł iloczynu dwóch liczb zespolonych jest równy iloczynowi modułów tych liczb: $$ |z_1 \cdot z_2| = |z_1||z_2| $$
Argument iloczynu dwóch liczb zespolonych jest równy sumie ich argumentów: $$ \arg(z_1 \cdot z_2) = \varphi_1 + \varphi_2 $$

Dzięki tym właściwościom mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej jest prostsze, ponieważ sprowadza się do mnożenia modułów i dodawania argumentów.

Przykład mnożenia liczb zespolonych

Rozważmy przykłady mnożenia liczb zespolonych:

Przykład 1: Mnożenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej. Niech $z_1 = 1 + 2i$ oraz $z_2 = 3 + 4i$. Ich iloczyn to: $$ z_1 \cdot z_2 = (1 + 2i)(3 + 4i) = (1 \cdot 3 - 2 \cdot 4) + (1 \cdot 4 + 2 \cdot 3)i = 3 - 8 + (4 + 6)i = -5 + 10i $$
Przykład 2: Mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej. Niech $z_1 = 2(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4})$ oraz $z_2 = 3(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6})$. Ich iloczyn to: $$ z_1 \cdot z_2 = 2 \cdot 3 [\cos (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}) + i\sin (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6})] = 6 [\cos (\frac{5\pi}{12}) + i\sin (\frac{5\pi}{12})] $$

Właściwości mnożenia liczb zespolonych

Mnożenie liczb zespolonych posiada kilka ważnych właściwości:

Łączność: Dla dowolnych liczb zespolonych $z_1$, $z_2$ i $z_3$: $$ (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) $$
Przemienność: Dla dowolnych liczb zespolonych $z_1$ i $z_2$: $$ z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1 $$
Istnienie elementu neutralnego: Liczba zespolona $1 + 0i$ jest elementem neutralnym mnożenia, co oznacza, że: $$ z \cdot 1 = z $$ dla dowolnej liczby zespolonej $z$.
Rozdzielność względem dodawania: Mnożenie jest rozdzielne względem dodawania. Dla dowolnych liczb zespolonych $z_1$, $z_2$ i $z_3$: $$ z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 $$

Podsumowanie

Mnożenie liczb zespolonych może być wykonywane zarówno w postaci algebraicznej, jak i trygonometrycznej. W postaci algebraicznej mnożymy i odejmujemy odpowiednie części rzeczywiste i urojone. W postaci trygonometrycznej mnożenie jest uproszczone do mnożenia modułów i dodawania argumentów, co jest szczególnie użyteczne w obliczeniach analitycznych i geometrycznych.