Działania algebraiczne na liczbach zespolonych

Działania algebraiczne na liczbach zespolonych to podstawowe operacje, które można wykonywać na liczbach zespolonych, podobnie jak na liczbach rzeczywistych. Liczby zespolone, które są rozszerzeniem liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną $i$ (gdzie $i^2 = -1$), mają szerokie zastosowanie w matematyce, fizyce oraz inżynierii. Główne operacje algebraiczne na liczbach zespolonych obejmują dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie oraz wyciąganie pierwiastków.

Dodawanie i odejmowanie

Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych odbywa się poprzez osobne dodawanie (lub odejmowanie) ich części rzeczywistych i urojonych. Jeśli $z_1 = a_1 + b_1i$ oraz $z_2 = a_2 + b_2i$, to:

• Dodawanie: $z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i$
• Odejmowanie: $z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i$

Dodawanie i odejmowanie są działaniami bezpośrednimi i zachowują prostotę podobną do dodawania i odejmowania liczb rzeczywistych.

Mnożenie

Mnożenie liczb zespolonych polega na zastosowaniu dystrybutywności i tożsamości $i^2 = -1$. Dla liczb zespolonych $z_1 = a_1 + b_1i$ oraz $z_2 = a_2 + b_2i$, iloczyn jest dany wzorem:

$$ z_1 \cdot z_2 = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2)i $$

W postaci trygonometrycznej mnożenie jest jeszcze prostsze – wystarczy pomnożyć moduły i dodać argumenty.

Dzielenie

Dzielenie liczb zespolonych jest operacją odwrotną do mnożenia. Aby podzielić liczbę zespoloną $z_1$ przez $z_2$, mnożymy liczbę $z_1$ przez sprzężenie $z_2$ i dzielimy przez kwadrat modułu $z_2$. Wzór w postaci algebraicznej wygląda następująco:

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + b_1i}{a_2 + b_2i} = \frac{(a_1a_2 + b_1b_2) + (b_1a_2 - a_1b_2)i}{a_2^2 + b_2^2} $$

W postaci trygonometrycznej dzielenie polega na podzieleniu modułów i odjęciu argumentów.

Potęgowanie i pierwiastkowanie

Potęgowanie liczb zespolonych, szczególnie dla potęg całkowitych i ułamkowych, odbywa się przy pomocy wzoru de Moivre'a. Wzór ten pozwala na wygodne obliczenie potęg i pierwiastków liczby zespolonej wyrażonej w postaci trygonometrycznej:

• Potęgowanie: $z^n = |z|^n (\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$
• Pierwiastkowanie: $\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|}\left(\cos\frac{\varphi + 2k\pi}{n} + i\sin\frac{\varphi + 2k\pi}{n}\right)$, gdzie $k = 0, 1, 2, \ldots, n-1$

Pierwiastkowanie liczby zespolonej daje $n$ różnych wyników, które są wierzchołkami n-kąta foremnego na płaszczyźnie zespolonej.

Podsumowanie

Działania algebraiczne na liczbach zespolonych są rozszerzeniem działań na liczbach rzeczywistych, uwzględniając dodatkowe właściwości jednostki urojonej $i$. Dzięki tym operacjom liczby zespolone znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach matematyki, fizyki, inżynierii i naukach technicznych.