Tożsamości trygonometryczne

Tożsamości trygonometryczne to równania, które są zawsze prawdziwe dla każdej wartości zmiennej, która spełnia ich dziedzinę. W trygonometrii, tożsamości te są podstawowymi narzędziami używanymi do upraszczania wyrażeń, rozwiązywania równań trygonometrycznych oraz analizy właściwości funkcji trygonometrycznych.

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Istnieje wiele tożsamości trygonometrycznych, które są kluczowe w matematyce. Oto najważniejsze z nich:

• Tożsamość Pitagorejska: $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$
• Tożsamości ilorazowe:
  • $$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$
  • $$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$
• Tożsamości odwrotne:
  • $$\sin(-\theta) = -\sin \theta$$
  • $$\cos(-\theta) = \cos \theta$$
  • $$\tan(-\theta) = -\tan \theta$$
  • $$\cot(-\theta) = -\cot \theta$$

Tożsamości dla sumy i różnicy kątów

Tożsamości te pozwalają wyrazić funkcje trygonometryczne sumy lub różnicy dwóch kątów w postaci funkcji trygonometrycznych pojedynczych kątów:

• Sinus sumy i różnicy kątów:
  • $$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$
  • $$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$
• Cosinus sumy i różnicy kątów:
  • $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$
  • $$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$
• Tangens sumy i różnicy kątów:
  • $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$
  • $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$
• Cotangens sumy i różnicy kątów:
  • $$\cot(\alpha + \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta - 1}{\cot \alpha + \cot \beta}$$
  • $$\cot(\alpha - \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta + 1}{\cot \beta - \cot \alpha}$$

Tożsamości dla podwójnych i połowicznych kątów

Tożsamości te są używane do wyrażania funkcji trygonometrycznych podwójnych lub połowicznych kątów:

• Sinus podwójnego kąta: $$\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$$
• Cosinus podwójnego kąta:
  • $$\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$$
  • $$\cos(2\alpha) = 2\cos^2 \alpha - 1$$
  • $$\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2 \alpha$$
• Tangens podwójnego kąta: $$\tan(2\alpha) = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$$
• Sinus połowy kąta: $$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}$$
• Cosinus połowy kąta: $$\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}$$
• Tangens połowy kąta: $$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}$$

Zastosowania tożsamości trygonometrycznych

Tożsamości trygonometryczne są szeroko stosowane w wielu dziedzinach matematyki i nauk stosowanych:

• Geometria: w analizie kątów i odległości w różnych figurach geometrycznych.
• Analiza matematyczna: przy obliczaniu całek i pochodnych funkcji trygonometrycznych.
• Fizyka: w opisie fal, drgań i ruchu obrotowego.
• Inżynieria: w obliczeniach konstrukcyjnych, elektrotechnice i mechanice.

Tożsamości trygonometryczne są fundamentem wielu obliczeń i dowodów matematycznych. Umożliwiają one przekształcanie i upraszczanie złożonych wyrażeń trygonometrycznych, co jest kluczowe w rozwiązywaniu problemów w matematyce, fizyce i inżynierii.