matematyka.wiki

matematyka jest prosta

Szukaj

Menu

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Wyciąganie pierwiastka stopnia $n$ z liczby zespolonej określamy jako działania odwrotne do potęgowania, wykonuje się według wzoru de Moivre'a dla ułamkowego wykładnika potęgi, tzn jeżeli $z=|z|(cos\varphi+i\sin\varphi)$ oraz $n$ jest liczbą naturalną, to:
$$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)$$

Dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie liczb zespolonych oraz podnoszenie liczb zespolonych do potęgi o wykładniku całkowitym są działaniami jednoznacznymi, natomiast wyciąganie pierwiastka stopnia $n$, gdzie $n$ jest liczbą naturalną, daje zawsze $n$ różnych wartości. Jeżeli bowiem do powyższego wzoru podstawiać będziemy $k=0, 1, 2, ..., n-1$, to argument $\sqrt[n]{z}$ przybierać będzie wartości:
$$\frac{\varphi}{n}\text{,}\quad \frac{\varphi+2\pi}{n}\text{,}\quad \frac{\varphi+4\pi}{n}\text{,}\quad ...\text{,}\quad \frac{\varphi +2(n-1)\pi}{n}$$
różniące się o $\frac{2\pi}{n}$, przy dalszych wartościach $k$ wartość argumentu $\sqrt[n]{z}$ będą się okresowo powtarzały.

W interpretacji geometrycznej punkty przedstawiające $\sqrt[n]{z}$ są wierzchołkami $n$-kąta foremnego mającego środek w biegunie.

Na poniższym rysunku przedstawiono sześć wartości $\sqrt[6]{z}$.

Sześć wartości pierwiastka szóstego stopnia liczby zespolonej

Cytat na dziś

Nie ma ani jednej dziedziny matematyki, jakkolwiek abstrakcyjna by była, która nie mogła być kiedyś zastosowana do zjawisk rzeczywistego świata.
N.Łobaczewski