Pierwiastkowanie ułamków

Pierwiastkowanie ułamków to operacja, w której wyciągamy pierwiastek zarówno z licznika, jak i z mianownika ułamka. Jest to w pewnym sensie odwrotność potęgowania ułamków.

Podstawowa zasada

Dla ułamka $\frac{a}{b}$ pod pierwiastkiem stopnia $n$, wynik obliczamy następująco:

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$$

Innymi słowy, wyciągamy pierwiastek stopnia $n$ z licznika i osobno z mianownika.

Kroki pierwiastkowania ułamków

  1. Wyciągnij pierwiastek z licznika.
  2. Wyciągnij pierwiastek z mianownika.
  3. Zapisz wynik jako nowy ułamek.
  4. Jeśli to możliwe, skróć ułamek.

Przykłady

Przykład 1: Pierwiastek kwadratowy

$\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$

Wyjaśnienie: Wyciągamy pierwiastek kwadratowy z 9 (co daje 3) i z 16 (co daje 4).

Przykład 2: Pierwiastek sześcienny

$\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}$

Wyjaśnienie: Wyciągamy pierwiastek sześcienny z 8 (co daje 2) i z 27 (co daje 3).

Przykład 3: Pierwiastek z liczb, które nie są pełnymi potęgami

$\sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

Wyjaśnienie: W tym przypadku nie możemy dalej uprościć wyniku, ponieważ $\sqrt{3}$ i $\sqrt{5}$ są liczbami niewymiernymi.

Specjalne przypadki

Pierwiastek z ułamka ujemnego

Pamiętaj, że pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych. Jednak dla pierwiastków nieparzystego stopnia:

$\sqrt[3]{-\frac{8}{27}} = -\frac{2}{3}$

Upraszczanie przed pierwiastkowaniem

Często możemy uprościć obliczenia, rozkładając liczby pod pierwiastkiem na czynniki:

$\sqrt{\frac{12}{20}} = \sqrt{\frac{2^2 \cdot 3}{2^2 \cdot 5}} = \frac{\sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2^2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

Wskazówki

  • Zawsze staraj się uprościć ułamek przed pierwiastkowaniem.
  • Pamiętaj o ograniczeniach pierwiastków parzystego stopnia z liczb ujemnych.
  • Nie zawsze wynik będzie ułamkiem wymiernym - czasem będziesz musiał zostawić pierwiastki w wyniku.
  • Pierwiastkowanie ułamków jest ściśle związane z potęgowaniem - $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = (\frac{a}{b})^{\frac{1}{n}}$.

Ćwiczenie

Spróbuj obliczyć następujące pierwiastki z ułamków:

  1. $\sqrt{\frac{25}{36}}$
  2. $\sqrt[3]{\frac{64}{125}}$
  3. $\sqrt{\frac{2}{3}}$

Pamiętaj, że pierwiastkowanie ułamków może wydawać się skomplikowane, ale z praktyką stanie się dla Ciebie naturalne. Kluczem jest zrozumienie podstawowej zasady i umiejętność upraszczania ułamków przed pierwiastkowaniem.