Pitagoras
Postać Pitagorasa, wielkiego filozofa greckiego, tonie w powodzi baśni i legend, które koło osoby twórcy szkoły pitagorejskiej snuły wieki. Już w IV w.p.n.e podawano szczegóły fantastyczne; opowiadano, że był on synem Apollina lub Hermesa, uważano go za półboga. Trudno też ze źródeł pochodzących z pierwszych wieków ery .chrześcijańskiej wyłowić szczegóły ściśle historyczne o życiu i działalności Pitagorasa. Trudności powiększa fakt, że dzieł pitagorejczyków niewiele, się zachowało, sam zaś Pitagoras żadnych pism nie zostawił. Przypisywane mu przez pitagorejczyków w późniejszych udekach pisma okazały, się apokryfami.
Zachowane jednak dane pozwalają scharakteryzować sylwetkę duchową filozofa, którego wielki umysł wykrywał dziwny związek bytu z liczbą, a wzniosłe wskazania miały na celu doskonalenie człowieka.
Pitagoras urodził się we wschodnich koloniach jońskich na wyspie Samos około 580r. p.n.e. Po odbyciu podróży do Egiptu wrócił do Samos, lecz niedługo pozostał w ojczyźnie, nie chcąc bowiem znosić tyranii Polikratesa udał się do Wielkiej Grecji (Italia południowa). Tam, w kwitnącej doryckiej kolonii w Krotonie, założył około 530r. związek religijno-polityczny, mający również cele naukowe na oku. Ekskluzywny charakter szkoły, której członkowie byli przedstawicielami arystokracji, zakaz ogłaszania dokonanych w niej odkryć - były przyczyną, że szkoła ta była znienawidzona przez plebejuszów. Z tego też powodu musiał Pitagoras opuścić Krotonę i przeniósł się do Tarentu, następnie do Metapontu, gdzie zmarł około 500r.
Dalsze przemiany polityczne i ustrojowe Grecji, kładąc kres istnieniu tyranii w 510 roku, zwiastowały zarazem zmierzch szkoły Pitagorejskiej, która kończy swe istnienie w połowie V wieku p.n.e. Lecz ani wstrząsy rewolucyjne w ówczesnej Grecji, ani prześladowania członków związku nie zdołały zniweczyć dzieła wielkiego mędrca. Idee pitagorejskie rozeszły się po całym świecie, znajdując wszędzie gorących zwolenników, Pitagorejczycy tworzyli stowarzyszenie zamknięte - złażone z członków, których wiązały pewne wspólne wierzenia religijne oraz ideały etyczne o wysokiej wartości. Podstawowa idea głosiła konieczność wyswobodzenia duszy spod wpływu ciała; osiągnąć to oczyszczenie można tylko pracą nad sobą i doskonaleniem rozumu. I tu tkwi doniosłe znaczenie filozofii pitagorejskiej dla etyki i nauki. Członkowie stowarzyszenia poddawać się musieli surowym regułom normującym ich życie. Znakiem, po którym poznawali się wtajemniczeni, był pentagram, czyli "gwiazda pitagorejska", będąca zarazem symbolem zdrowia.
Dorobek naukowy szkoły pitagorejskiej był niewątpliwie duży, ale dokładne poznanie go natrafia na trudności, gdyż współcześni mało mieli wglądu w tok jej prac. Tym trudniej ocenić dziś, co było zasługa samego Pitagorasa, a co - jego uczniów. Dopiero po śmierci założyciela szkoły wyniki badań zaczęły się szerzej rozchodzić, gdyż nie przestrzegano już tak ściśle, obowiązku tajemnicy. Gdy związek rozbito, członkowie rozproszyli się po koloniach greckich. Niejeden z nich zaczął uczyć, wiedza stawała się dostępniejsza, a tym samym zaczynał się coraz większy jej rozwój.
W szkole pitagorejskiej łączyła się filozofia ściśle z matematyką, filozofię bowiem uważano za wspólne źródło wszelkiej nauki - i z tego poglądu wynika pierwotny sens jej nazwy. Tworzywem świata - w myśl filozofii pitagorejskiej - jest liczba, ona jest "życia zasadą i kierownikiem", jako podstawa ładu wszechrzeczy; w związku z tym badali pitagorejczycy własności liczb i tu było źródło rozwoju arytmetyki, jako podłoża systemu filozoficznego. Te matematyczno-filozoficzne rozważania, dzięki którym odkryto wiele własności liczb, stanowią praźródło nowożytnej teorii liczb.
W związku z muzyką, której pitagorejczycy przypisywali moc oczyszczającą, zajmowali się akustyką i tu doszli do ważnych odkryć, że dźwięki muzyczne, których przyczyną jest ruch, opierają się na stosunkach liczbowych, dzięki czemu powstają harmonijne interwale. A więc zjawisko harmonii - w myśl poglądów pitagorejskich - też powstaje dzięki liczbie.
Spekulacje liczbowe wprowadzili pitagorejczycy również do nauki o przyrodzie; świat pojmowali jako kulę, gdyż ten kształt geometryczny uważali za najprostszy. Wiążąc ten pogląd z odkryciami akustycznymi uważali świat za doskonale "harmonijny" i dlatego to dali mu nazwę kosmosu, czyli ładu.
Odkrycia pitagorejczyków w dziedzinie geometrii są bardzo ważne; zapoczątkowują one dążność do wyodrębnienia geometrii jako wiedzy abstrakcyjnej, uniezależnionej od zastosowań praktycznych. Cały szereg twierdzeń odnoszących się do trójkątów i czworokątów, które znajdują się w Elementach Euklidesa, znany już był pitagorejczykom.
Jeśli chodzi o słynne twierdzenie zwane dziś twierdzeniem Pitagorasa, to prawie wszyscy historycy matematyki godzą się na to, że nie Pitagoras, lecz raczej jego uczniowie to twierdzenie sformułowali.
Bezpośrednim wynikiem pitagorejskich spekulacyj liczbowych oraz poznania własności trójkąta prostokątnego było najważniejsze odkrycie przypisywane tej szkole, a mianowicie stwierdzenie istnienia wielkości niewspółmiernych. Nastąpiło to prawdopodobnie na drodze geometrycznej przez stwierdzenie niewspółmierności przekątnej kwadratu i jego boku. Odkrycie to wywarło olbrzymie wrażenie; usiłowano zachować je w tajemnicy w obrębie szkoły. Nie udało się to jednak, gdyż jeden, z członków zdradził tajemnicę, za co - jak mówi podanie - poniósł karę śmierci. Aby zrozumieć, dlaczego to odkrycie wywarło tak wstrząsające wrażenie, musimy wziąć pod uwagę ówczesną umysłowość Greków: fakt istnienia odcinków, którym nie odpowiada liczba, podważał niewzruszoną wiarę w liczbę jako podstawę ładu i harmonii świata.
Około tego problemu koncentrowała się polemika różnych, szkół filozoficznych, które gwałtownie przeciwstawiały się pitagorejczykom, podkreślając sprzeczność wynikającą z faktu, że każdej, liczbie odpowiada jakiś odcinek, ale nie każdemu odcinkowi odpowiada liczba. Odkrycie to spowodowało w konsekwencji wielki rozwój geometrii; wielkości przedstawiano geometrycznie, gdyż to - bez względu na ich rodzaj - zawsze było wykonalne. Pojęcie wielkości niewymiernej zyskało prawo obywatelstwa, ale nie uzyskała go "liczba niewymierna", gdyż taka wielkość w pojęciu Greków nie była liczbą.
Znaczenie szkoły pitagorejskiej w historii matematyki polega na tym, że występuje w niej usystematyzowana już wiedza, że wprowadzano i określano nowe pojęcia oparte na rozumowaniu logicznym, a więc w ujęciu odpowiadającym podstawom matematyki. Fakt, że Pitagoras i jego uczniowie wyzwolili matematykę z pęt codziennego życia, że ją traktowali niezależnie od praktycznych, zastosowań, podnosząc ją do wyżyny samoistnej umiejętności pozwala nam nazwać twórcę tej szkoły pierwszym matematykiem.