Postać ogólna funkcji kwadratowej

Postać ogólna funkcji kwadratowej jest zapisywana wzorem:

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$

gdzie współczynniki $a$, $b$ i $c$ są ustalonymi liczbami, oraz $a \neq 0$. Postać ogólna jest podstawową formą zapisu funkcji kwadratowej i pozwala na łatwe odczytanie kluczowych własności funkcji.

Własności funkcji kwadratowej

Ze wzoru funkcji kwadratowej w postaci ogólnej możemy odczytać następujące własności funkcji:

  • Jeśli $a > 0$, ramiona paraboli są skierowane w górę, co oznacza, że funkcja ma minimum w wierzchołku paraboli.
  • Jeśli $a < 0$, ramiona paraboli są skierowane w dół, co oznacza, że funkcja ma maksimum w wierzchołku paraboli.

Wartość współczynnika $c$ wskazuje na miejsce przecięcia się wykresu funkcji z osią Y. Jest to wartość funkcji dla $x = 0$, czyli punkt $y = c$.

Obliczanie miejsc zerowych

Z postaci ogólnej funkcji kwadratowej możemy łatwo obliczyć pierwiastki funkcji kwadratowej, czyli miejsca zerowe. W tym celu najpierw obliczamy wyróżnik kwadratowy, tzw. deltę ($\Delta$), ze wzoru:

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

Wartość delty decyduje o liczbie miejsc zerowych funkcji kwadratowej:

  • Jeśli $\Delta > 0$, funkcja kwadratowa posiada dwa miejsca zerowe, obliczane ze wzorów:

    • $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$$

    $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$

  • Jeśli $\Delta = 0$, funkcja kwadratowa posiada jedno miejsce zerowe, obliczane ze wzoru:

    • $$x_0 = \frac{-b}{2a}$$

  • Jeśli $\Delta < 0$, funkcja kwadratowa nie posiada miejsc zerowych w zbiorze liczb rzeczywistych.

Współrzędne wierzchołka paraboli

Współrzędne wierzchołka paraboli $W(p, q)$ możemy obliczyć ze wzorów:

  • Współrzędna $p$ (oś symetrii paraboli) to:

    • $$p = \frac{-b}{2a}$$

  • Współrzędna $q$ (wartość funkcji w wierzchołku) to:

    • $$q = \frac{-\Delta}{4a}$$

Wartość $p$ wyznacza położenie osi symetrii paraboli, a wartość $q$ określa wartość minimalną lub maksymalną funkcji kwadratowej w zależności od znaku współczynnika $a$. Jeśli $a > 0$, wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie minimum funkcji, a jeśli $a < 0$, wierzchołek znajduje się w punkcie maksimum.

Podsumowanie

Postać ogólna funkcji kwadratowej jest wszechstronnym narzędziem do analizy własności funkcji kwadratowych. Dzięki niej możemy łatwo określić kształt paraboli, obliczyć miejsca zerowe oraz wyznaczyć współrzędne wierzchołka paraboli. Zrozumienie tych elementów jest kluczowe w wielu dziedzinach matematyki oraz w rozwiązywaniu równań kwadratowych.