matematyka.wiki

matematyka jest prosta

Szukaj

Menu

Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny, to ciąg liczbowy, w którym kolejne wyrazy ciągu powstają przez pomnożenie poprzedniego przez daną liczbę rzeczywistą $q$ zwaną ilorazem ciągu geometrycznego. Aby opisać ciąg geometryczny musimy znać początkowy - pierwszy $a_1$ wyraz ciągu oraz iloraz ciągu $q$.

Wzór ogólny ciągu geometrycznego jest następujący: $$a_n=a_1*q^{(n-1)}$$
Wzór na iloraz ciągu geometrycznego, otrzymamy dzieląc kolejny wyraz ciągu geometrycznego przez poprzedni wyraz tegoż ciągu: $$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$$
Sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego zapisujemy równaniem: $$S_n=a_1*\frac{1-q^n}{1-q} \qquad \text{dla} \quad q\ne1$$

Ciąg geometryczny jest zawsze ciągiem monotonicznym, zależnie od wartości wyrazu początkowego oraz ilorazu ciągu mówimy o:

  • ciągu geometrycznym rosnącym - gdy $q>1$ i $a_1>0$ lub $q\in(0,1)$ i $a_1<0$,
  • ciągu geometrycznym malejącym - gdy $q>1$ i $a_1<0$ lub $q\in(0,1)$ i $a_1>0$,
  • ciągu geometrycznym stałym - gdy $q=1$ lub $a_1=0$.

Jeśli iloraz ciągu geometrycznego jest liczbą ujemną $q<0$ ciąg geometryczny jest ciągiem naprzemiennym, tzn. kolejne wyrazy ciągu są na przemian dodatnie i ujemne.
Jeśli iloraz ciągu geometrycznego jest ułamkiem właściwym, tzn $q\in(-1,1)$, ciąg taki nazywamy ciągiem geometrycznym zbieżnym do zera.

Cytat na dziś

Jakie to szczęście być matematykiem w naszych czasach!
D.Hilbert