Ciąg geometryczny

Definicja i podstawowe pojęcia

Ciąg geometryczny to ciąg liczbowy, w którym iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów jest stały. Tę stałą wartość oznaczamy symbolem $q$ i nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.

Do pełnego opisu ciągu geometrycznego potrzebujemy znać dwie wartości:

• $a_1$ - pierwszy wyraz ciągu
• $q$ - iloraz ciągu geometrycznego

Wzory i własności

Wzór ogólny

Wzór ogólny na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego:

$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$

gdzie $a_n$ to $n$-ty wyraz ciągu, $a_1$ to pierwszy wyraz, $n$ to numer wyrazu, a $q$ to iloraz ciągu.

Iloraz ciągu

Iloraz ciągu geometrycznego możemy obliczyć, dzieląc dowolny wyraz ciągu przez wyraz poprzedzający:

$$q = \frac{a_{n+1}}{a_n}$$

Suma wyrazów ciągu

Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego dana jest wzorem:

$$S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} \quad \text{dla} \quad q \neq 1$$

W przypadku gdy $q = 1$, suma $n$ wyrazów wynosi $S_n = n \cdot a_1$.

Monotoniczność ciągu geometrycznego

Ciąg geometryczny jest zawsze ciągiem monotonicznym. W zależności od wartości wyrazu początkowego i ilorazu ciągu, rozróżniamy:

• Ciąg rosnący: gdy $q > 1$ i $a_1 > 0$ lub $q \in (0,1)$ i $a_1 < 0$
• Ciąg malejący: gdy $q > 1$ i $a_1 < 0$ lub $q \in (0,1)$ i $a_1 > 0$
• Ciąg stały: gdy $q = 1$ lub $a_1 = 0$

Szczególne przypadki

Ciąg naprzemienny

Jeśli iloraz ciągu geometrycznego jest liczbą ujemną $(q < 0)$, ciąg geometryczny jest ciągiem naprzemiennym, tzn. kolejne wyrazy ciągu są na przemian dodatnie i ujemne.

Ciąg zbieżny do zera

Jeśli iloraz ciągu geometrycznego jest ułamkiem właściwym, tzn. $q \in (-1,1)$, ciąg taki nazywamy ciągiem geometrycznym zbieżnym do zera.

Przykłady i zastosowania

Przykład 1: Wyznaczanie wyrazów ciągu

Dany jest ciąg geometryczny, gdzie $a_1 = 2$ i $q = 3$. Obliczmy piąty wyraz tego ciągu.

Korzystając z wzoru ogólnego:

$$a_5 = a_1 \cdot q^{5-1} = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$$

Zatem piąty wyraz ciągu to 162.

Przykład 2: Obliczanie sumy wyrazów

Obliczmy sumę pierwszych 6 wyrazów ciągu geometrycznego, gdzie $a_1 = 1$ i $q = 2$.

Korzystamy z wzoru na sumę:

$$S_6 = a_1 \cdot \frac{1-q^6}{1-q} = 1 \cdot \frac{1-2^6}{1-2} = \frac{1-64}{-1} = 63$$

Suma pierwszych 6 wyrazów tego ciągu wynosi 63.

Zastosowania praktyczne

Ciągi geometryczne znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach, takich jak:

• Finanse: obliczanie odsetek składanych, wzrost wartości inwestycji
• Biologia: wzrost populacji organizmów
• Fizyka: rozpad promieniotwórczy
• Akustyka: dźwięki harmoniczne

Zrozumienie ciągów geometrycznych jest istotne dla dalszej nauki matematyki, w tym ciągów arytmetycznych i ogólnej teorii ciągów liczbowych.