matematyka.wiki

matematyka jest prosta

Szukaj

Menu

Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny, to ciąg liczbowy, w którym kolejne wyrazy ciągu powstają przez pomnożenie poprzedniego przez daną liczbę rzeczywistą $q$ zwaną ilorazem ciągu geometrycznego. Aby opisać ciąg geometryczny musimy znać początkowy - pierwszy $a_1$ wyraz ciągu oraz iloraz ciągu $q$.

Wzór ogólny ciągu geometrycznego jest następujący: $$a_n=a_1*q^{(n-1)}$$
Wzór na iloraz ciągu geometrycznego, otrzymamy dzieląc kolejny wyraz ciągu geometrycznego przez poprzedni wyraz tegoż ciągu: $$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$$
Sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego zapisujemy równaniem: $$S_n=a_1*\frac{1-q^n}{1-q} \qquad \text{dla} \quad q\ne1$$

Ciąg geometryczny jest zawsze ciągiem monotonicznym, zależnie od wartości wyrazu początkowego oraz ilorazu ciągu mówimy o:

  • ciągu geometrycznym rosnącym - gdy $q>1$ i $a_1>0$ lub $q\in(0,1)$ i $a_1<0$,
  • ciągu geometrycznym malejącym - gdy $q>1$ i $a_1<0$ lub $q\in(0,1)$ i $a_1>0$,
  • ciągu geometrycznym stałym - gdy $q=1$ lub $a_1=0$.

Jeśli iloraz ciągu geometrycznego jest liczbą ujemną $q<0$ ciąg geometryczny jest ciągiem naprzemiennym, tzn. kolejne wyrazy ciągu są na przemian dodatnie i ujemne.
Jeśli iloraz ciągu geometrycznego jest ułamkiem właściwym, tzn $q\in(-1,1)$, ciąg taki nazywamy ciągiem geometrycznym zbieżnym do zera.

Cytat na dziś

Nie ma ani jednej dziedziny matematyki, jakkolwiek abstrakcyjna by była, która nie mogła być kiedyś zastosowana do zjawisk rzeczywistego świata.
N.Łobaczewski