Prawdopodobieństwo warunkowe
Prawdopodobieństwo warunkowe jest to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia losowego $A$ pod warunkiem, że zaszło inne zdarzenie $B$. Prawdopodobieństwo to oznaczamy symbolem $P(A|B)$ i określamy wzorem:
$$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$
Warto zauważyć, że prawdopodobieństwo warunkowe $P(A|B)$ może być różne od prawdopodobieństwa bezwarunkowego zdarzenia $A$, oznaczanego jako $P(A)$. Zależność ta wynika z faktu, że informacja o zajściu zdarzenia $B$ może wpływać na prawdopodobieństwo zdarzenia $A$. W przypadku, gdy $P(A|B) = P(A)$, mówimy o zdarzeniach niezależnych, ponieważ zajście zdarzenia $B$ nie wpływa na prawdopodobieństwo zdarzenia $A$. Dla takich zdarzeń spełnione jest prawo mnożenia prawdopodobieństw:
$$ P(A \cap B) = P(A)P(B) $$
Prawdopodobieństwo całkowite
Prawdopodobieństwo całkowite to metoda obliczania prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia, uwzględniająca różne możliwe scenariusze lub tzw. hipotezy. Jeśli dane doświadczenie losowe może zakończyć się jednym z wzajemnie wykluczających się zdarzeń $A_1, A_2, ..., A_N$, to dla dowolnego zdarzenia $B$ prawdopodobieństwo jego zajścia można wyrazić wzorem:
$$ P(B) = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + ... + P(B|A_N)P(A_N) $$
Wzór ten, zwany wzorem na prawdopodobieństwo całkowite, jest użyteczny w sytuacjach, gdy prawdopodobieństwa warunkowe $P(B|A_i)$ są znane lub łatwe do obliczenia. Hipotezy $A_i$ oraz prawdopodobieństwa $P(A_i)$ nazywamy odpowiednio hipotezami i prawdopodobieństwami a priori.
Wzór Bayesa
Wzór Bayesa pozwala na obliczenie prawdopodobieństwa zajścia hipotezy $A_i$, gdy wiadomo, że zaszło zdarzenie $B$. Prawdopodobieństwo to, zwane prawdopodobieństwem a posteriori, wyraża się wzorem:
$$ P(A_i|B) = \frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_{j=1}^N P(B|A_j)P(A_j)} $$
Wzór Bayesa jest szczególnie przydatny w statystyce i analizie danych, gdzie często szukamy prawdopodobieństw warunkowych na podstawie zaobserwowanych wyników.
Przykłady zastosowania prawdopodobieństwa warunkowego
Przykład 1: Trafienie do celu
Prawdopodobieństwo trafienia do celu przy pojedynczym strzale wynosi $p$. Oddano $n$ strzałów niezależnie jeden od drugiego. Jakie jest prawdopodobieństwo, że cel został trafiony co najmniej raz?
Prawdopodobieństwo chybienia przy pojedynczym strzale wynosi $1-p$. Prawdopodobieństwo, że wszystkie $n$ strzałów będą chybione, wynosi $(1-p)^n$. Stąd prawdopodobieństwo trafienia co najmniej raz wynosi:
$$ P(\text{trafienie co najmniej raz}) = 1 - (1 - p)^n $$
Przykład 2: Wybór kart
Rozważmy talię 8 kart zawierającą 4 damy i 4 walety. Wylosowano losowo dwie karty. Obliczmy prawdopodobieństwo, że obie karty są waletami, pod warunkiem, że:
- jedna z nich jest waletem,
- jedna z nich jest czerwonym waletem,
- jedna z nich jest waletem kier.
Obliczenia prawdopodobieństw warunkowych dla każdego przypadku wykorzystują prawdopodobieństwo warunkowe i zasady kombinatoryki. Oznaczmy zdarzenia przez $A$ (jedna karta jest waletem), $B$ (jedna karta jest czerwonym waletem), $C$ (jedna karta jest waletem kier) oraz $D$ (obie karty są waletami). Na przykład:
$$ P(D|A) = \frac{P(D \cap A)}{P(A)} $$
W tym przypadku obliczenia wymagają znajomości liczby możliwych par kart i różnych scenariuszy wyboru, co jest typowym zastosowaniem kombinatoryki.
Przykład 3: Losowanie kul
Pierwsza urna zawiera 3 kule białe i 2 czarne, a druga urna zawiera 1 białą i 5 czarnych. Losujemy kulę z pierwszej urny i przenosimy ją do drugiej urny, po czym losujemy kulę z drugiej urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągnięta kula z drugiej urny będzie biała?
Stosując wzór na prawdopodobieństwo całkowite oraz uwzględniając prawdopodobieństwa warunkowe i a priori dla każdego zdarzenia, otrzymujemy:
$$ P(A) = \frac{2}{7} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{7} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{35} $$
Przykład 4: Przeniesiona kula
Załóżmy, że w sytuacji opisanej powyżej wyciągnięto z drugiej urny kulę białą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przeniesiona kula była również biała?
Stosując wzór Bayesa, możemy obliczyć to prawdopodobieństwo:
$$ P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A|B)P(B) + P(A|C)P(C)} = \frac{\frac{2}{7} \cdot \frac{3}{5}}{\frac{8}{35}} = \frac{3}{4} $$
Zastosowanie prawdopodobieństwa warunkowego w praktyce
Prawdopodobieństwo warunkowe jest narzędziem niezbędnym w wielu dziedzinach, takich jak statystyka, analiza danych, nauki przyrodnicze i inżynieria. Pozwala na lepsze modelowanie i przewidywanie wyników w złożonych systemach, gdzie zdarzenia są wzajemnie zależne. Rozumienie tych zależności jest kluczowe w kontekście rachunku prawdopodobieństwa i innych zaawansowanych tematów w matematyce stosowanej.