Prawdopodobieństwo warunkowe
Prawdopodobieństwo warunkowe. Rozważmy dwa zdarzenia losowe $A$ i $B$, przy czym niech $P(B)\gt 0$. Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia $A$, jeśli zaszło zdarzenie $B$, oznaczamy symbolem $P(A|B)$ i określamy wzorem
$$P(A|B)=\frac{P(A \text{ i } B)}{P(B)}$$
Prawdopodobieństwo $P(A|B)$ jest na ogół różne od prawdopodobieństwa (bezwarunkowego) zdarzenia $A$. W pewnych przypadkach jednak informacja o zajściu zdarzenia $B$ nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zdarzenia $A$, tj. $P(A|B)=P(A)$. Z powyższego wzoru otrzymujemy wówczas
$$P(A \text{ i } B)=P(A) P(B)$$
Zdarzenia $A$ i $B$, dla których zachodzi prawo mnożenia prawdopodobieństw, nazywamy zdarzeniami niezależnymi.
Wyobraźmy sobie, że w wyniku pewnego doświadczenia losowego realizuje się zawsze jedno z wzajemnie wyłączających się zdarzeń $A_1$, $A_2$, ..., $A_N$. Wówczas dla dowolnego zdarzenia $B$ zachodzi wzór
$$P(B)=P(B|A_1)P(A_1)+...+P(B|A_N)P(A_N)$$
Wzór ten nazywamy wzorem na prawdopodobieństwo całkowite. Jest on używany często w sytuacjach praktycznych, gdyż niekiedy prawdopodobieństwa warunkowe $P(B|A_i)$ są łatwe do obliczenia lub dane bezpośrednio. Często zdarzenia $A_1$, $A_2$, ..., $A_N$ nazywa się hipotezami, a prawdopodobieństwa $P(A_i)$ - prawdopodobieństwami a priori. Jeżeli wiadomo, że zaszło zdarzenie $B$, to prawdopodobieństwo a posteriori hipotezy $A_i$ $(i=1,2,3, ..., N)$ wyraża się tzw. wzorem Bayesa
$$P(A_i|B)=\frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_{j=1}^N P(B|A_j)P(A_j)}$$
Przykład 1.
Prawdopodobieństwo trafienia do celu przy pojedynczym strzale wynosi $p$. Oddano $n$ strzałów niezależnie jeden od drugiego. Jakie jest prawdopodobieństwo, że cel został trafiony co najmniej raz?
Prawdopodobieństwo chybienia przy pojedynczym strzale wynosi $1-p$, wobec tego prawdopodobieństwo, że wszystkie $n$ strzałów będzie chybionych, wynosi $(1-p)^n$. Stąd szukana odpowiedź jest $1-(1-p)^n$.
Przykład 2.
Poniższy przykład jest nieco sztuczny, niemniej wart jest przytoczenia ze względu na to, że odpowiedź wydaje się przeczyć (na pierwszy rzut oka) intuicji.
Z talii 8 kart zawierającej 4 damy i 4 walety wybrano losowo dwie karty. Obliczyć prawdopodobieństwo, że obie wybrane karty są waletami, jeżeli wiadomo, że:
- jedna z nich jest waletem,
- jedna z nich jest czerwonym waletem,
- jedna z nich jest waletem kier.
Oznaczamy zdarzenie opisane w warunkach powyższych odpowiednio przez $A$, $B$, $C$, a zdarzenie, którego prawdopodobieństwa szukamy (że obie karty są waletami), przez $D$.
Obliczmy najpierw $P(A)$, $P(B)$ i $P(C)$. W każdym przypadku ilość możliwych par kart wynosi $\begin{pmatrix}8\\2\end{pmatrix}=\frac{8\cdot 7}{1\cdot 2}=28$. Zdarzenie przeciwne do $A$ realizuje się, gdy wylosowano dwie damy - można to zrobić na $\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}=\frac{4\cdot 3}{1\cdot 2}=6$ sposobów. Stąd $P(A)=1-\frac{6}{28}=\frac{22}{28}$. Zdarzenie przeciwne do $B$ realizuje się, gdy wśród wybranych kart nie ma czerwonego waleta. Ilość takich wyborów wynosi $\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}=\frac{6\cdot 5}{1\cdot 2}=15$, stąd $P(B)=1-\frac{15}{28}=\frac{13}{28}$. Wreszcie podobnie $P(C)=1-\frac{21}{28}=\frac{7}{28}$.
Dla obliczenia $P(D|A)$ musimy jeszcze obliczyć $P(D\text{ i }A)$ - z treści zadania łatwo zauważyć, że $P(D\text{ i }A)=P(D)$. Rozumując podobnie jak przy obliczaniu $P(A)$ obliczymy $P(D)=\frac{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}{28}=\frac{6}{28}$, stąd $P(D|A)=\frac{P(D\text{ i }A)}{P(A)}=\frac{\frac{6}{28}}{\frac{22}{28}}=\frac{3}{11}$.
Dla obliczenia $P(D|B)$ obliczyć musimy $P(B\text{ i }D)$. Zdarzenie "$B$ i $D$" realizuje się, jeżeli wylosowano dwa walety, w tym co najmniej jeden jest czerwony. Łatwo obliczyć, że ilość takich par wynosi 5, stąd $P(B\text{ i }D)=\frac{5}{28}$ i $P(D|B)=\frac{\frac{5}{28}}{\frac{13}{28}}=\frac{5}{13}$.
Wreszcie zdarzenie "$C$ i $D$" realizuje się, jeżeli wybrano dwa walety, wśród których jest walet kier - ilość takich par wynosi 3, stąd $P(C\text{ i }D)=\frac{3}{28}$ i $P(D|C)=\frac{\frac{3}{28}}{\frac{7}{28}}=\frac{3}{7}$.
Przykład 3.
Pierwsza urna zawiera 3 kule białe i 2 czarne, druga urna zawiera 1 białą i 5 czarnych. Z pierwszej urny losujemy kulę i przenosimy ją do drugiej, po czym losujemy kulę z drugiej urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągnięta z drugiej urny kula jest biała?
Oznaczmy przez $A$ zdarzenie polegające na wyciągnięciu z drugiej urny kuli białej, a przez $B$ i $C$ odpowiednio zdarzenia, że przeniesiona kula była biała lub czarna. Mamy $P(B)=\frac35$, $P(C)=\frac25$, $P(A|B)=\frac27$, $P(A|C)=\frac17$. Na podstawie wzoru na prawdopodobieństwo całkowite mamy: $P(A)=\frac27\cdot\frac35+\frac17\cdot\frac25=\frac{8}{35}$.
Przykład 4.
Przypuśćmy, że w warunkach przykładu poprzedniego wyciągnięto z drugiej urny kulę białą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przeniesiona kula była też biała?
Używamy wzoru Bayesa:
$P(B|A)=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A|B)P(B)+P(A|C)P(C)}=\frac{\frac27\cdot\frac35}{\frac{8}{35}}=\frac34$.