Wzory Viete'a

Wzory Viete'a to zależności matematyczne wyrażające związki między pierwiastkami wielomianu a jego współczynnikami. W przypadku funkcji kwadratowej, czyli trójmianu kwadratowego, wzory Viete'a przyjmują następującą postać:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

gdzie $x_1$ i $x_2$ to miejsca zerowe funkcji kwadratowej $f(x) = ax^2 + bx + c$, a $a$, $b$, $c$ są współczynnikami wielomianu.

Autor wzorów Viete'a

Wzory te zostały opracowane przez francuskiego matematyka François Viète, znanego jako jednego z pionierów nowoczesnej algebry. Viète wprowadził nowatorskie metody algebraiczne, które znacznie uprościły rozwiązywanie równań. Jego prace miały ogromny wpływ na rozwój matematyki w okresie renesansu. Więcej na temat jego życia i osiągnięć można przeczytać w artykule na jego temat.

Zastosowanie wzorów Viete'a

Wzory Viete'a nie są bezpośrednio używane do wyznaczania miejsc zerowych wielomianu, ale pozwalają na szybkie obliczenie sumy i iloczynu pierwiastków wielomianu. Dzięki temu można łatwo obliczać wartości wyrażeń zależnych od pierwiastków bez konieczności ich dokładnego wyznaczania.

Wyprowadzenie wzorów Viete'a

Aby zrozumieć, skąd biorą się wzory Viete'a, przyjrzyjmy się wyprowadzeniu tych wzorów:

Wyprowadzenie sumy pierwiastków:

$$x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$$

Wynika stąd, że suma pierwiastków funkcji kwadratowej jest równa ilorazowi współczynnika $-b$ i współczynnika $a$.

Wyprowadzenie iloczynu pierwiastków:

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \cdot \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{b^2 - \Delta}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$$

Iloczyn pierwiastków funkcji kwadratowej jest zatem równy ilorazowi współczynnika $c$ i współczynnika $a$.

Zastosowanie praktyczne wzorów Viete'a

Wzory Viete'a są szczególnie przydatne w zadaniach wymagających analizy własności pierwiastków bez ich bezpośredniego wyznaczania. Pozwalają one na szybkie obliczenie sumy i iloczynu pierwiastków, co jest przydatne w rozwiązywaniu równań kwadratowych, badaniu własności funkcji kwadratowych, a także w zadaniach związanych z teorią liczb.

Podsumowanie

Wzory Viete'a stanowią istotne narzędzie w analizie funkcji kwadratowych i wielomianów. Pozwalają one na szybkie i efektywne obliczanie sumy oraz iloczynu pierwiastków na podstawie współczynników wielomianu, co jest nieocenione w wielu dziedzinach matematyki, zwłaszcza w teorii równań i analizie algebraicznej.