Dzielenie liczb zespolonych

Dzielenie dwóch liczb zespolonych jest operacją odwrotną do mnożenia. Oznacza to, że dzielenie polega na znalezieniu liczby, która po pomnożeniu przez dzielnik daje dzielną. Dzielenie liczb zespolonych można przeprowadzać zarówno w postaci algebraicznej, jak i trygonometrycznej.

Dzielenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej

W postaci algebraicznej dzielenie dwóch liczb zespolonych $z_1 = a_1 + b_1i$ i $z_2 = a_2 + b_2i$ jest wyrażone wzorem:

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + b_1i}{a_2 + b_2i} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2}{a_2^2 + b_2^2} + \frac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_2^2 + b_2^2}i $$

gdzie $a_2 \neq 0$, $b_2 \neq 0$. Dzielenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wymaga pomnożenia licznika i mianownika przez sprzężenie mianownika, aby pozbyć się części urojonej w mianowniku:

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{(a_1 + b_1i)(a_2 - b_2i)}{(a_2 + b_2i)(a_2 - b_2i)} $$

Powyższe przekształcenie prowadzi do wzoru, w którym mianownik staje się liczbą rzeczywistą, a licznik pozostaje liczbą zespoloną.

Dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej

W postaci trygonometrycznej dzielenie liczb zespolonych jest znacznie prostsze i wynika z właściwości funkcji trygonometrycznych. Jeżeli liczby zespolone $z_1$ i $z_2$ są wyrażone w postaci trygonometrycznej jako:

$$ z_1 = |z_1|(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1), \quad z_2 = |z_2|(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2) $$

to ich iloraz $z = \frac{z_1}{z_2}$ jest dany wzorem:

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{|z_1|}{|z_2|}[\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2)] $$

gdzie $|z_2| \neq 0$. Z powyższego wzoru wynika, że:

Moduł ilorazu dwóch liczb zespolonych jest równy ilorazowi ich modułów: $$ \left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} $$
Argument ilorazu dwóch liczb zespolonych jest równy różnicy ich argumentów: $$ \arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \varphi_1 - \varphi_2 $$

Dzielenie w postaci trygonometrycznej jest szczególnie przydatne w obliczeniach, gdzie operujemy na modułach i argumentach, ułatwiając analizę zjawisk związanych z rotacją i skalowaniem na płaszczyźnie zespolonej.

Liczba zespolona odwrotna

Liczba zespolona odwrotna to liczba, która po pomnożeniu przez daną liczbę zespoloną daje wynik równy jedności zespolonej (1). W postaci trygonometrycznej liczba odwrotna do danej liczby zespolonej $z$ jest wyrażona wzorem:

$$ \frac{1}{z} = \frac{1}{|z|(\cos \varphi + i\sin \varphi)} = \frac{1}{|z|}[\cos(-\varphi) + i\sin(-\varphi)] $$

Z tego wzoru wynika, że moduł liczby odwrotnej jest równy odwrotności modułu danej liczby, a argument jest przeciwny do argumentu danej liczby zespolonej.

Przykłady dzielenia liczb zespolonych

Rozważmy przykłady dzielenia liczb zespolonych:

Przykład 1: Dzielenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej. Niech $z_1 = 4 + 2i$ oraz $z_2 = 1 - i$. Ich iloraz to: $$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{4 + 2i}{1 - i} = \frac{(4 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{(4 + 4i + 2i + 2i^2)}{1^2 - i^2} = \frac{4 + 6i - 2}{1 + 1} = \frac{2 + 6i}{2} = 1 + 3i $$
Przykład 2: Dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej. Niech $z_1 = 5(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3})$ oraz $z_2 = 2(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4})$. Ich iloraz to: $$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{5}{2}[\cos (\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) + i\sin (\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4})] = \frac{5}{2}[\cos (\frac{\pi}{12}) + i\sin (\frac{\pi}{12})] $$

Właściwości dzielenia liczb zespolonych

Dzielenie liczb zespolonych posiada kilka ważnych właściwości:

Niekomutatywność: Dzielenie liczb zespolonych nie jest przemienne, tzn. $\frac{z_1}{z_2} \neq \frac{z_2}{z_1}$ w ogólności.
Rozdzielność względem mnożenia: Dzielenie jest rozdzielne względem mnożenia. Dla dowolnych liczb zespolonych $z_1$, $z_2$ i $z_3$ (z $z_3 \neq 0$): $$ \frac{z_1 \cdot z_2}{z_3} = \frac{z_1}{z_3} \cdot \frac{z_2}{z_3} $$
Istnienie elementu odwrotnego: Każda liczba zespolona różna od zera ma element odwrotny, który po pomnożeniu przez tę liczbę daje jedność zespoloną. Elementem odwrotnym do liczby $z = a + bi$ jest liczba $\frac{1}{z} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2}$.

Podsumowanie

Dzielenie liczb zespolonych może być wykonywane w postaci algebraicznej, gdzie wymaga użycia sprzężenia, lub w postaci trygonometrycznej, gdzie polega na dzieleniu modułów i odejmowaniu argumentów. Obie metody mają swoje zastosowania w zależności od kontekstu problemu i ułatwiają różnorodne obliczenia w analizie zespolonej oraz w zastosowaniach inżynierskich i fizycznych.