Ułamek odwrotny

Ułamek odwrotny to ułamek, który powstaje przez zamianę miejscami licznika i mianownika w danym ułamku. Dla ułamka $\frac{a}{b}$, jego ułamkiem odwrotnym jest $\frac{b}{a}$.

Definicja

Dla ułamka $\frac{a}{b}$, ułamek odwrotny definiujemy jako:

$$\frac{a}{b} \longrightarrow \frac{1}{\frac{a}{b}}=\frac{b}{a}$$

Ważne uwagi

• Ułamek pomnożony przez swój ułamek odwrotny zawsze daje wynik 1: $\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1$
• Ułamek odwrotny do liczby całkowitej $n$ to $\frac{1}{n}$
• Ułamek odwrotny do 1 to też 1
• Nie istnieje ułamek odwrotny do 0, ponieważ nie można dzielić przez zero

Przykłady

1. Ułamek odwrotny do $\frac{2}{3}$ to $\frac{3}{2}$

   Wyjaśnienie: Zamieniamy miejscami licznik (2) i mianownik (3)

2. Ułamek odwrotny do $\frac{1}{2}$ to $\frac{2}{1}=2$

   Wyjaśnienie: Zamieniamy 1 i 2 miejscami. $\frac{2}{1}$ można uprościć do 2

3. Ułamek odwrotny do $\frac{5}{11}$ to $\frac{11}{5}$

   Wyjaśnienie: Zamieniamy miejscami 5 i 11

4. Ułamek odwrotny do $-\frac{4}{5}$ to $-\frac{5}{4}$

   Wyjaśnienie: Zamieniamy 4 i 5 miejscami. Znak minus pozostaje na swoim miejscu

Zastosowanie ułamków odwrotnych

Ułamki odwrotne są szczególnie przydatne przy dzieleniu ułamków. Dzielenie przez ułamek jest równoważne mnożeniu przez jego odwrotność:

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$$

Przykład:

$\frac{2}{3} \div \frac{1}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{1} = \frac{8}{3}$

Ćwiczenie

Spróbuj znaleźć ułamki odwrotne do:

1. $\frac{3}{7}$
2. $\frac{8}{5}$
3. $-\frac{1}{3}$
4. $2$ (pamiętaj, że to to samo co $\frac{2}{1}$)

Pamiętaj, że umiejętność szybkiego znajdowania ułamków odwrotnych jest bardzo przydatna, szczególnie przy dzieleniu ułamków i rozwiązywaniu równań z ułamkami.