Potęgowanie ułamków

Potęgowanie ułamków to operacja, w której ułamek mnożymy przez siebie określoną liczbę razy. Jest to rozszerzenie koncepcji mnożenia ułamków, ale z pewną specyficzną zasadą.

Podstawowa zasada

Dla ułamka $\frac{a}{b}$ podniesionego do potęgi $n$, wynik obliczamy następująco:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$

Innymi słowy, podnosimy zarówno licznik, jak i mianownik do tej samej potęgi.

Kroki potęgowania ułamków

  1. Zapisz ułamek w nawiasie.
  2. Podnieś licznik do zadanej potęgi.
  3. Podnieś mianownik do tej samej potęgi.
  4. Jeśli to możliwe, skróć ułamek.

Przykłady

Przykład 1: Potęga dodatnia

$\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$

Wyjaśnienie: Podnosimy 2 do trzeciej potęgi (2 · 2 · 2 = 8) i 3 do trzeciej potęgi (3 · 3 · 3 = 27).

Przykład 2: Potęga druga (kwadrat)

$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$

Wyjaśnienie: Podnosimy 1 do kwadratu (1 · 1 = 1) i 2 do kwadratu (2 · 2 = 4).

Przykład 3: Potęga zerowa

$\left(\frac{3}{5}\right)^0 = \frac{3^0}{5^0} = \frac{1}{1} = 1$

Wyjaśnienie: Każda liczba (oprócz zera) podniesiona do potęgi zerowej daje 1.

Specjalne przypadki

Potęga ujemna

Gdy ułamek podnosimy do potęgi ujemnej, wynik jest równy odwrotności ułamka podniesionego do tej samej potęgi dodatniej:

$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$

Przykład: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$

Potęga ułamkowa

Gdy wykładnik jest ułamkiem, mówimy o pierwiastkowaniu. Na przykład:

$\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Wskazówki

  • Pamiętaj o nawiasach przy zapisywaniu potęgi ułamka.
  • Zawsze podnoś zarówno licznik, jak i mianownik do tej samej potęgi.
  • Dla potęg ujemnych, najpierw odwróć ułamek, a potem potęguj.
  • Dla potęg ułamkowych, rozważ użycie pierwiastków.

Ćwiczenie

Spróbuj obliczyć następujące potęgi ułamków:

  1. $\left(\frac{1}{3}\right)^3$
  2. $\left(\frac{2}{5}\right)^2$
  3. $\left(\frac{3}{4}\right)^{-1}$

Pamiętaj, że potęgowanie ułamków to rozszerzenie koncepcji mnożenia. Z praktyką, ta operacja stanie się dla Ciebie naturalna i intuicyjna!