Twierdzenie o trzech ciągach

Twierdzenie o trzech ciągach, znane również jako twierdzenie kanapkowe lub twierdzenie sandwich, to ważne narzędzie w analizie matematycznej, służące do wyznaczania granic ciągów. Pozwala ono określić granicę ciągu, który jest "ściśnięty" między dwoma innymi ciągami o znanej granicy.

Sformułowanie twierdzenia

Niech $(a_{n})$ , $(b_{n})$ i $(c_{n})$ będą ciągami liczbowymi spełniającymi następujące warunki:

Dla dostatecznie dużych $n$ , zachodzi nierówność: $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$
Istnieje granica $lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} c_{n} = L$

Wtedy ciąg $(b_{n})$ również ma granicę równą $L$ , czyli:

lim_{n \to \infty} b_{n} = L

Interpretacja geometryczna

Geometrycznie, twierdzenie o trzech ciągach można interpretować jako "ściskanie" ciągu $(b_{n})$ między ciągami $(a_{n})$ i $(c_{n})$ . Gdy te dwa ciągi zbiegają do tej samej wartości, "ściśnięty" między nimi ciąg $(b_{n})$ musi również zbiegać do tej samej wartości.

Przykład zastosowania

Rozważmy ciąg $b_{n} = \frac{n \sin (n)}{n^{2} + 1}$ . Aby znaleźć jego granicę, możemy użyć twierdzenia o trzech ciągach:

Zauważmy, że $- 1 \leq \sin (n) \leq 1$ dla wszystkich $n$ .
Mnożąc tę nierówność przez $\frac{n}{n^{2} + 1}$ (które jest zawsze dodatnie dla $n > 0$ ), otrzymujemy:

- \frac{n}{n^{2} + 1} \leq \frac{n \sin (n)}{n^{2} + 1} \leq \frac{n}{n^{2} + 1}

Teraz mamy:

a_{n} = - \frac{n}{n^{2} + 1}, b_{n} = \frac{n \sin (n)}{n^{2} + 1}, c_{n} = \frac{n}{n^{2} + 1}

Łatwo pokazać, że:

lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} (- \frac{n}{n^{2} + 1}) = lim_{n \to \infty} (- \frac{1}{n + \frac{1}{n}}) = 0

lim_{n \to \infty} c_{n} = lim_{n \to \infty} (\frac{n}{n^{2} + 1}) = lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n + \frac{1}{n}}) = 0

Zatem, na mocy twierdzenia o trzech ciągach:

lim_{n \to \infty} b_{n} = lim_{n \to \infty} \frac{n \sin (n)}{n^{2} + 1} = 0

Zastosowania

Twierdzenie o trzech ciągach jest szczególnie użyteczne w sytuacjach, gdy:

Trudno jest bezpośrednio obliczyć granicę danego ciągu.
Mamy do czynienia z funkcjami trygonometrycznymi lub oscylującymi.
Chcemy udowodnić zbieżność ciągu bez dokładnego obliczania jego granicy.

Warianty twierdzenia

Istnieją różne warianty twierdzenia o trzech ciągach, w tym:

Wersja dla granic w nieskończoności: jeśli $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ i $lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} c_{n} = \pm \infty$ , to $lim_{n \to \infty} b_{n} = \pm \infty$ .
Wersja dla funkcji (twierdzenie o trzech funkcjach): analogiczne twierdzenie dla granic funkcji.

Podsumowanie

Twierdzenie o trzech ciągach jest potężnym narzędziem w analizie matematycznej, pozwalającym na wyznaczanie granic ciągów w sytuacjach, gdy bezpośrednie obliczenia mogą być trudne lub niemożliwe. Jego zrozumienie i umiejętność stosowania są kluczowe dla rozwiązywania zaawansowanych problemów w analizie matematycznej i jej zastosowaniach.