Twierdzenie o trzech ciągach

Twierdzenie o trzech ciągach, znane również jako twierdzenie kanapkowe lub twierdzenie sandwich, to ważne narzędzie w analizie matematycznej, służące do wyznaczania granic ciągów. Pozwala ono określić granicę ciągu, który jest "ściśnięty" między dwoma innymi ciągami o znanej granicy.

Sformułowanie twierdzenia

Niech $(a_n)$, $(b_n)$ i $(c_n)$ będą ciągami liczbowymi spełniającymi następujące warunki:

  1. Dla dostatecznie dużych $n$, zachodzi nierówność: $a_n \leq b_n \leq c_n$
  2. Istnieje granica $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = L$

Wtedy ciąg $(b_n)$ również ma granicę równą $L$, czyli:

$$\lim_{n \to \infty} b_n = L$$

Interpretacja geometryczna

Geometrycznie, twierdzenie o trzech ciągach można interpretować jako "ściskanie" ciągu $(b_n)$ między ciągami $(a_n)$ i $(c_n)$. Gdy te dwa ciągi zbiegają do tej samej wartości, "ściśnięty" między nimi ciąg $(b_n)$ musi również zbiegać do tej samej wartości.

Przykład zastosowania

Rozważmy ciąg $b_n = \frac{n \sin(n)}{n^2 + 1}$. Aby znaleźć jego granicę, możemy użyć twierdzenia o trzech ciągach:

  1. Zauważmy, że $-1 \leq \sin(n) \leq 1$ dla wszystkich $n$.
  2. Mnożąc tę nierówność przez $\frac{n}{n^2 + 1}$ (które jest zawsze dodatnie dla $n > 0$), otrzymujemy:
$$-\frac{n}{n^2 + 1} \leq \frac{n \sin(n)}{n^2 + 1} \leq \frac{n}{n^2 + 1}$$

Teraz mamy:

$$a_n = -\frac{n}{n^2 + 1}, \quad b_n = \frac{n \sin(n)}{n^2 + 1}, \quad c_n = \frac{n}{n^2 + 1}$$

Łatwo pokazać, że:

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (-\frac{n}{n^2 + 1}) = \lim_{n \to \infty} (-\frac{1}{n + \frac{1}{n}}) = 0$$ $$\lim_{n \to \infty} c_n = \lim_{n \to \infty} (\frac{n}{n^2 + 1}) = \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n + \frac{1}{n}}) = 0$$

Zatem, na mocy twierdzenia o trzech ciągach:

$$\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n \sin(n)}{n^2 + 1} = 0$$

Zastosowania

Twierdzenie o trzech ciągach jest szczególnie użyteczne w sytuacjach, gdy:

  • Trudno jest bezpośrednio obliczyć granicę danego ciągu.
  • Mamy do czynienia z funkcjami trygonometrycznymi lub oscylującymi.
  • Chcemy udowodnić zbieżność ciągu bez dokładnego obliczania jego granicy.

Warianty twierdzenia

Istnieją różne warianty twierdzenia o trzech ciągach, w tym:

  • Wersja dla granic w nieskończoności: jeśli $a_n \leq b_n \leq c_n$ i $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = \pm\infty$, to $\lim_{n \to \infty} b_n = \pm\infty$.
  • Wersja dla funkcji (twierdzenie o trzech funkcjach): analogiczne twierdzenie dla granic funkcji.

Podsumowanie

Twierdzenie o trzech ciągach jest potężnym narzędziem w analizie matematycznej, pozwalającym na wyznaczanie granic ciągów w sytuacjach, gdy bezpośrednie obliczenia mogą być trudne lub niemożliwe. Jego zrozumienie i umiejętność stosowania są kluczowe dla rozwiązywania zaawansowanych problemów w analizie matematycznej i jej zastosowaniach.