Prawdopodobieństwo całkowite

Prawdopodobieństwo całkowite jest pojęciem w rachunku prawdopodobieństwa, które umożliwia obliczenie prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia na podstawie jego rozkładu na kilka wzajemnie wykluczających się i wyczerpujących się możliwości. Zastosowanie tej koncepcji jest szczególnie użyteczne, gdy chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, które może zajść na różne sposoby, zależnie od warunków.

Definicja prawdopodobieństwa całkowitego

Załóżmy, że $A_1, A_2, ..., A_n$ to wzajemnie wykluczające się zdarzenia, które tworzą pełną grupę zdarzeń (jedno z nich na pewno zajdzie). Jeżeli $B$ jest dowolnym zdarzeniem w tej samej przestrzeni probabilistycznej, to prawdopodobieństwo całkowite zdarzenia $B$ można wyrazić jako:

$$ P(B) = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + ... + P(B|A_n)P(A_n) $$

W powyższym wzorze:

• $P(B)$ - prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia $B$
• $P(B|A_i)$ - prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia $B$ pod warunkiem, że zaszło zdarzenie $A_i$
• $P(A_i)$ - prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia $A_i$

Intuicyjne wyjaśnienie

Prawdopodobieństwo całkowite pozwala nam obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia $B$ poprzez rozważenie wszystkich możliwych scenariuszy (zdarzeń $A_1, A_2, ..., A_n$), w których $B$ może zajść. Każdy scenariusz ma swoje prawdopodobieństwo, a prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia $B$ to suma prawdopodobieństw zajścia $B$ w każdym scenariuszu, uwzględniając prawdopodobieństwo zajścia tego scenariusza.

Przykład zastosowania prawdopodobieństwa całkowitego

Rozważmy przykład, w którym mamy trzy pudełka:

• Pudełko 1 zawiera 3 kule białe i 2 czarne.
• Pudełko 2 zawiera 1 kulę białą i 1 czarną.
• Pudełko 3 zawiera 4 kule białe i 0 czarnych.

Losowo wybieramy jedno pudełko, a następnie losujemy jedną kulę z tego pudełka. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli?

Niech:

• $A_1$ oznacza wybór Pudełka 1
• $A_2$ oznacza wybór Pudełka 2
• $A_3$ oznacza wybór Pudełka 3
• $B$ oznacza wylosowanie białej kuli

Zakładając, że każde pudełko jest wybierane z jednakowym prawdopodobieństwem, mamy:

• $P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \frac{1}{3}$
• $P(B|A_1) = \frac{3}{5}$ (bo w Pudełku 1 jest 3 białe kule na 5)
• $P(B|A_2) = \frac{1}{2}$ (bo w Pudełku 2 jest 1 biała kula na 2)
• $P(B|A_3) = 1$ (bo w Pudełku 3 wszystkie kule są białe)

Zgodnie z prawem całkowitego prawdopodobieństwa:

$$ P(B) = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + P(B|A_3)P(A_3) $$

Podstawiając wartości, otrzymujemy:

$$ P(B) = \left(\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}\right) + \left(1 \cdot \frac{1}{3}\right) $$

$$ P(B) = \frac{3}{15} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{6}{30} + \frac{5}{30} + \frac{10}{30} = \frac{21}{30} = \frac{7}{10} $$

Stąd prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli wynosi $\frac{7}{10}$.

Podsumowanie

Prawdopodobieństwo całkowite jest kluczowym narzędziem w rachunku prawdopodobieństwa, które umożliwia obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń w sytuacjach, gdy można je rozłożyć na różne wzajemnie wykluczające się scenariusze. Znajduje ono szerokie zastosowanie w analizie danych, statystyce, ekonomii i wielu innych dziedzinach, gdzie konieczne jest modelowanie i przewidywanie wyników na podstawie dostępnych informacji.