Liczby przestępne

Liczby przestępne to liczby rzeczywiste lub liczby zespolone, które nie są rozwiązaniami żadnego równania algebraicznego o współczynnikach całkowitych. Innymi słowy, nie są one liczbami algebraicznymi.

Definicja

Liczbę nazywamy przestępną, jeśli nie jest ona pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych. Formalnie, liczba $x$ jest przestępna, jeśli nie istnieje wielomian $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0$, gdzie $a_i$ są liczbami całkowitymi, taki że $P(x)=0$.

Historia odkrycia

Historia odkrycia i badania liczb przestępnych jest fascynująca:

• 1844: Joseph Liouville odkrywa istnienie liczb przestępnych.
• 1873: Charles Hermite dowodzi, że liczba $e$ (podstawa logarytmu naturalnego) jest przestępna.
• 1882: Ferdinand von Lindemann dowodzi, że liczba $\pi$ jest przestępna.
• 1934: Aleksandr Gelfond formułuje twierdzenie Gelfonda-Schneidera.

Twierdzenie Gelfonda-Schneidera

Twierdzenie to, udowodnione przez Aleksandra Gelfonda w 1934 roku, stwierdza, że:

Jeśli $a$ i $b$ są liczbami algebraicznymi, przy czym $a\ne 0$ i $a\ne 1$, a $b$ jest liczbą niewymierną, to $a^b$ jest liczbą przestępną.

Z tego twierdzenia wynika, że na przykład liczby $2^{\sqrt{2}}$ i $3^{\sqrt{10}}$ są liczbami przestępnymi.

Przykłady liczb przestępnych

• $e$ (podstawa logarytmu naturalnego)
• $\pi$ (stosunek obwodu koła do jego średnicy)
• $2^{\sqrt{2}}$
• $3^{\sqrt{10}}$
• $e^{\pi }$ (tzw. stała Gelfonda)
• Stała Eulera-Mascheroniego $\gamma$

Właściwości liczb przestępnych

1. Istnieje nieskończenie wiele liczb przestępnych.
2. Zbiór liczb przestępnych jest nieprzeliczalny.
3. Suma i iloczyn liczby algebraicznej i liczby przestępnej są zawsze liczbami przestępnymi.
4. Prawie wszystkie liczby rzeczywiste są przestępne (w sensie miary Lebesgue'a).

Znaczenie liczb przestępnych

Liczby przestępne mają istotne znaczenie w matematyce i jej zastosowaniach:

• Teoria liczb: Badanie liczb przestępnych przyczyniło się do rozwoju algebraicznej teorii liczb.
• Geometria: Przestępność $\pi$ rozwiązała starożytny problem kwadratury koła.
• Teoria obliczeń: Niektóre liczby przestępne są wykorzystywane w teorii obliczeń i kryptografii.
• Fizyka teoretyczna: Liczby przestępne pojawiają się w niektórych stałych fizycznych i równaniach.

Ciekawostki

1. Mimo że prawie wszystkie liczby rzeczywiste są przestępne, trudno jest udowodnić przestępność konkretnej liczby.
2. Nie wiadomo, czy niektóre ważne stałe matematyczne, takie jak stała Eulera-Mascheroniego $\gamma$, są przestępne czy algebraiczne.
3. Suma liczby algebraicznej i liczby przestępnej zawsze jest liczbą przestępną.
4. Przestępność $e$ i $\pi$ ma ważne konsekwencje w geometrii, np. niemożliwość skonstruowania za pomocą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym polu danego koła.

Podsumowanie

Liczby przestępne, choć mniej intuicyjne niż liczby wymierne czy algebraiczne, stanowią fascynujący obszar badań matematycznych. Ich odkrycie i badanie przyczyniło się do rozwoju wielu dziedzin matematyki, od teorii liczb po geometrię i analizę matematyczną.