Liczby przestępne
Liczby przestępne to liczby rzeczywiste lub liczby zespolone, które nie sa rozwiązaniami żadnego równania algebraicznego o współczynnikach całkowitych, a więc nie są liczbami algebraicznymi. Istnienie liczb przestępnych odkrył Liouville w 1844 roku. W roku 1873 Hermite dowiódł, że liczba $e$ jest liczbą przestępną, zaś w 9 lat później Lindemann dowiódł przestępność liczby $\pi$, a następnie wykazał, że jeśli $\alpha$ jest liczba algebraiczną, to $e^\alpha$ jest liczba przestępną. Najdalej idące rezultaty uzyskał w tej dziedzinie uczony radziecki Gelfond w roku 1934, który dowiódł, że jeśli $a$ i $b$ są liczbami algebraicznymi, przy czym $a\neq 0$ i $a\neq 1$, $b$ zaś jest liczbą niewymierną, to $a^b$ jest liczbą przestępną (tzw. twierdzenie Golfonda-Schneidera). W myśl tego twierdzenia np. liczby $2^{\sqrt{2}}$ i $3^{\sqrt{10}}$ sa liczbami przestępnymi.