Sito Eratostenesa

Sito Eratostenesa to jeden z najstarszych i najbardziej efektywnych algorytmów służących do znajdowania wszystkich liczb pierwszych do zadanej granicy. Nazwa "sito" odnosi się do procesu odsiewania liczb złożonych, pozostawiając tylko liczby pierwsze.

Historia

Algorytm został opracowany przez greckiego matematyka Eratostenesa z Cyreny (ok. 276-194 p.n.e.), który był również astronomem, geografem i poetą. Eratostenes był kierownikiem Biblioteki Aleksandryjskiej i dokonał wielu znaczących odkryć matematycznych.

Opis algorytmu

Sito Eratostenesa działa w następujący sposób:

  1. Utworzenie listy wszystkich liczb od 2 do zadanej granicy n.
  2. Rozpoczęcie od pierwszej liczby na liście (2).
  3. Oznaczenie jako złożone wszystkich wielokrotności tej liczby (z wyjątkiem jej samej).
  4. Przejście do następnej nieoznaczonej liczby i powtórzenie kroku 3.
  5. Powtarzanie kroków 3-4 aż do osiągnięcia $\sqrt{n}$.
  6. Wszystkie nieoznaczone liczby są liczbami pierwszymi.

Przykład

Zobaczmy, jak działa Sito Eratostenesa dla liczb do 30:

  1. Lista początkowa: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30
  2. Zaczynamy od 2: wykreślamy jego wielokrotności: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30
  3. Następna niewykreślona liczba to 3: wykreślamy jego wielokrotności: 9, 15, 21, 27
  4. Następna to 5: wykreślamy 25
  5. Nie musimy iść dalej, bo $\sqrt{30} < 7$
  6. Pozostałe liczby to liczby pierwsze: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Złożoność obliczeniowa

Sito Eratostenesa ma złożoność czasową $O(n \log \log n)$, gdzie n jest górną granicą zakresu. To czyni go jednym z najszybszych algorytmów do znajdowania wszystkich liczb pierwszych w danym zakresie dla umiarkowanie dużych n.

Zastosowania

Sito Eratostenesa ma wiele zastosowań w matematyce i informatyce:

  • Generowanie tablic liczb pierwszych dla różnych zastosowań w teorii liczb.
  • Testowanie pierwszości liczb w określonym zakresie.
  • Jako podstawa dla bardziej zaawansowanych algorytmów generowania liczb pierwszych.
  • W kryptografii, gdzie potrzebne są duże liczby pierwsze.
  • W edukacji matematycznej jako przykład elegancji algorytmów matematycznych.

Modyfikacje i ulepszenia

Istnieją różne modyfikacje Sita Eratostenesa, które poprawiają jego wydajność:

  • Sito Sundarama: Alternatywna metoda znajdowania liczb pierwszych.
  • Sito Atkina: Nowocześniejszy algorytm o lepszej złożoności obliczeniowej dla dużych n.
  • Segmentowane Sito Eratostenesa: Wersja zoptymalizowana pod kątem wykorzystania pamięci.

Ciekawostki

  1. Sito Eratostenesa jest jednym z najstarszych znanych algorytmów, mającym ponad 2200 lat.
  2. Mimo swojego wieku, algorytm ten wciąż jest używany w nowoczesnych komputerach do generowania liczb pierwszych.
  3. Eratostenes był również znany z bardzo dokładnego obliczenia obwodu Ziemi, używając jedynie kija i wiedzy o kącie padania promieni słonecznych.
  4. W 2009 roku naukowcom udało się użyć Sita Eratostenesa do znalezienia wszystkich liczb pierwszych do 10^18 w czasie około 40 minut na superkomputerze.

Podsumowanie

Sito Eratostenesa, mimo swojej starożytnej proweniencji, pozostaje jednym z najbardziej eleganckich i efektywnych algorytmów do znajdowania liczb pierwszych. Jego prostota i skuteczność sprawiają, że jest ono nie tylko ważnym narzędziem w teorii liczb, ale także doskonałym przykładem piękna matematyki i algorytmiki.