Zmienne losowe dyskretne

Zmienne losowe dyskretne (lub skokowe) to rodzaj zmiennych losowych, które mogą przyjmować tylko określoną, skończoną lub przeliczalną nieskończoność możliwych wartości. Oznacza to, że wartości, które zmienna losowa $X$ może przyjąć, tworzą zbiór, który można wylistować w postaci ciągu liczb $x_1, x_2, x_3, \ldots$. Innymi słowy, zmienna losowa $X$ przyjmuje jedną wartość z tego ciągu.

Definicja zmiennej losowej dyskretnej

Zmienną losową $X$ nazywamy dyskretną, jeśli istnieje skończony lub przeliczalny nieskończony zbiór wartości, które $X$ może przyjąć. W takim przypadku, aby w pełni opisać rozkład zmiennej losowej $X$, wystarczy podać prawdopodobieństwa przyjęcia przez $X$ każdej z możliwych wartości:

$$ p_k = P\{X = x_k\} \qquad (k = 1, 2, \ldots) $$

Te prawdopodobieństwa nazywamy funkcją masy prawdopodobieństwa (PMF - Probability Mass Function) zmiennej losowej. PMF wskazuje, z jakim prawdopodobieństwem zmienna losowa przyjmuje poszczególne wartości.

Przykłady zmiennych losowych dyskretnych

W praktyce, zmienne losowe dyskretne często przyjmują wartości całkowite, co jest typowe w wielu sytuacjach, gdzie zmienne losowe wynikają z procesu liczenia lub enumeracji. Oto kilka przykładów:

• Rzut kostką: Rozważmy zmienną losową $X$, która reprezentuje liczbę wyrzuconych oczek w rzucie sześcienną kostką do gry. Możliwe wartości to $X = 1, 2, 3, 4, 5, 6$. Prawdopodobieństwo każdej wartości wynosi $P(X = k) = \frac{1}{6}$ dla $k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$.
• Liczba trafień: Załóżmy, że przeprowadzamy serię 10 rzutów monetą i interesuje nas liczba razy, kiedy wypadnie orzeł. Zmienna losowa $Y$ oznaczająca liczbę orłów w tych 10 rzutach przyjmuje wartości całkowite od 0 do 10. W tym przypadku $Y$ ma rozkład dwumianowy z parametrami $n = 10$ i $p = 0.5$.
• Liczba zgłoszeń: Rozważmy zmienną losową $Z$, która opisuje liczbę zgłoszeń przychodzących na infolinię w ciągu godziny. Możliwe wartości to $Z = 0, 1, 2, 3, \ldots$. W praktyce taki proces może być modelowany za pomocą rozkładu Poissona.

Funkcja masy prawdopodobieństwa (PMF)

Funkcja masy prawdopodobieństwa (PMF) jest podstawowym narzędziem do opisu rozkładu zmiennej losowej dyskretnej. PMF przypisuje każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia, spełniając następujące własności:

• Nieujemność: Dla każdej wartości $x_k$, $p_k \geq 0$.
• Normalizacja: Suma prawdopodobieństw dla wszystkich możliwych wartości wynosi 1: $$ \sum_{k} p_k = 1 $$

PMF umożliwia łatwe obliczenie prawdopodobieństwa dowolnego zdarzenia związanego ze zmienną losową dyskretną. Na przykład, jeśli chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że zmienna losowa $X$ przyjmie wartość większą niż pewna liczba $c$, wystarczy zsumować prawdopodobieństwa wszystkich wartości większych niż $c$:

$$ P(X > c) = \sum_{x_k > c} p_k $$

Zastosowania zmiennych losowych dyskretnych

Zmienna losowa dyskretna znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach, takich jak ekonomia, inżynieria, nauki społeczne i medycyna. Na przykład, w ekonomii zmienne losowe dyskretne mogą być używane do modelowania liczby klientów odwiedzających sklep w ciągu dnia, liczby produktów sprzedanych w określonym czasie, czy liczby zgłoszeń serwisowych w ciągu tygodnia.

W statystyce zmienne losowe dyskretne są podstawą dla wielu testów statystycznych i metod estymacji, które wymagają znajomości rozkładu zmiennej losowej. W analizie danych, zmienne losowe dyskretne umożliwiają modelowanie i prognozowanie na podstawie wyników eksperymentów i obserwacji. Zrozumienie pojęcia zmiennych losowych dyskretnych i ich rozkładów jest kluczowe dla efektywnego stosowania narzędzi statystycznych i modeli probabilistycznych w praktyce.