matematyka.wiki

matematyka jest prosta

Szukaj

Menu

Potęgowanie liczb

Potęgowanie to działanie arytmetyczne, polegające na mnożeniu przez siebie podstawy potęgi, tyle razy ile wskazuje wykładnik potęgi. Potęgowanie zostało wprowadzone do matematyki, aby uprościć właśnie wykonywanie mnożenia takich samych liczb.

$a^n=b$

Oznaczenia:

$a^n$ - n-ta potęga liczby a,
$a$ - podstawa potęgi,
$n$ - wykładnik potęgi,
$b$ - wynik potęgowania, zwany potęgą.
$a^n$ czytamy jako $a$ podniesione do potęgi $n$-tej, lub w skrócie $a$ do potęgi $n$-tej, lub $a$ do $n$-tej.
Można także czytać potęgi:
$a^2$ - $a$ do kwadratu,
$a^3$ - $a$ do sześcianu.

Właściwości potęgowania:

  1. Dowolna liczba różna od zero podniesiona do potęgi zerowej daje liczbę jeden: $a^0=1 \space \text{dla}\space a\neq 0$
  2. Dowolna liczba podniesiona do potęgi pierwszej daje tą liczbę: $a^1=a$

W analizie matematycznej przyjmuje się dość często że $0^0$ jest symbolem nieoznaczonym, natomiast w matematyce abstrakcyjnej działanie to jest zawsze równe jeden ($1$).

Potęga naturalna:

$a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a}_{n\text{ razy}}$

Dla dowolnych $m, n \in \Bbb{N}$ i $a\neq 0$ zachodzi następująca własność:

$a^{m+n}=a^m\cdot a^n$

Potęga całkowita ujemna:

Dla dowolnego $n \in \Bbb{R}\setminus\{0\}$ i $a\neq 0$ zachodzi następująca własność:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Potęga o wykładniku wymiernym:

$\begin{matrix} a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} &\text{dla} &\space a\in\Bbb{R}^{+}\cup\{0\}; m\in\Bbb{N}; n\in\Bbb{N}\setminus\{1\} \\ a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}} &\text{dla} &\space a\in\Bbb{R}^{+}; m\in\Bbb{N}; n\in\Bbb{N}\setminus\{1\} \end{matrix}$

Cytat na dziś

Matematyka tylko wtedy będzie mogła rozwijać się równomiernie we wszystkich kierunkach, gdy żadna z dziedzin badawczych nie zostanie zarzucona.
F.Klein