Funkcja liniowa

Definicja

Funkcja liniowa jest to funkcja określona następującym wzorem:

$$f(x)=ax+b$$

lub równoważnie:

$$y=ax+b$$

gdzie:
$a$ - nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej,
$b$ - nazywamy wyrazem wolnym.

Wykres funkcji liniowej

Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Kształt wykresu zależy od wartości współczynników $a$ i $b$:

  • Jeśli $a > 0$, funkcja liniowa jest rosnąca,
  • Jeśli $a < 0$, funkcja liniowa jest malejąca,
  • Jeśli $a = 0$, funkcja przyjmuje postać $f(x) = b$ i nazywamy ją funkcją stałą.

Współczynnik $b$ (wyraz wolny) określa miejsce przecięcia wykresu funkcji z osią Y.

Właściwości funkcji liniowej

Dziedzina i zbiór wartości

Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych: $x \in \mathbb{R}$.

Zbiór wartości funkcji liniowej to również zbiór wszystkich liczb rzeczywistych: $y \in \mathbb{R}$ (z wyjątkiem funkcji stałej, gdzie zbiór wartości to jeden punkt).

Miejsce zerowe

Miejsce zerowe funkcji liniowej (punkt przecięcia wykresu z osią X) obliczamy ze wzoru:

$$x_0 = -\frac{b}{a}$$

Miejsce zerowe istnieje dla wszystkich funkcji liniowych z wyjątkiem funkcji stałych (gdy $a = 0$).

Monotoniczność

Funkcja liniowa jest:

  • Rosnąca dla $a > 0$
  • Malejąca dla $a < 0$
  • Stała dla $a = 0$

Interpretacja geometryczna współczynników

  • $a$ - tangens kąta nachylenia prostej do osi OX
  • $b$ - rzędna punktu przecięcia prostej z osią OY

Postać ogólna równania prostej

Funkcję liniową można również zapisać w postaci ogólnej równania prostej:

$$Ax + By + C = 0$$

gdzie $A$, $B$ i $C$ są stałymi, a $A$ i $B$ nie są jednocześnie równe zero.

Zastosowania funkcji liniowej

  1. Fizyka: Opis ruchu jednostajnego, zależności między napięciem a natężeniem prądu (prawo Ohma).
  2. Ekonomia: Modelowanie kosztów, przychodów, popytu i podaży.
  3. Statystyka: Regresja liniowa do analizy zależności między zmiennymi.
  4. Geometria analityczna: Opis prostych na płaszczyźnie.

Przykłady

Przykład 1: Znalezienie miejsca zerowego

Dla funkcji $f(x) = 2x - 6$, miejsce zerowe to:
$x_0 = -\frac{b}{a} = -\frac{-6}{2} = 3$

Przykład 2: Określenie monotoniczności

Funkcja $g(x) = -3x + 1$ jest malejąca, ponieważ $a = -3 < 0$.

Podsumowanie

Funkcja liniowa jest jednym z podstawowych typów funkcji w matematyce. Jej prostota i wszechstronność sprawiają, że znajduje szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach nauki i życia codziennego. Zrozumienie właściwości funkcji liniowej jest kluczowe dla dalszego studiowania matematyki, fizyki, ekonomii i wielu innych dyscyplin.